Вопросы по волатильности портфеля...

[log_alexey]

Коллеги, добрый день!

Постараюсь быть максимально кратким. Я провожу одно количественное исследование и у меня возникло два вопроса в отношении расчета волатильности портфеля и оценки его VaR. Оба вопроса носят математический характер и связаны с тем, что в качестве исходных данных используется логарифмическая доходность согласно распространенной практике таких исследований и предположению, что цены распределены логнормально.

1. Для расчета волатильности портфеля обычно используют следующие формулы:

$\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}a_i^2\sigma_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j>i}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{A^TVA},$

где $\sigma$ – волатильность портфеля;
$a_i$ – доля i-го актива;
$a_j$ – доля j-го актива;
$\sigma_i^2$ – дисперсия i-го актива;
$\sigma_{ij}$ – ковариация i-го актива c j-м активом;
$A^T$ – транспонированный вектор долей;
$V$ – ковариационная матрица;
$A$ – вектор долей.

Эти формулы корректно работают, если случайная величина (доходность портфеля) равна линейной комбинации:

$r=\sum\limits_{i=1}^{N}a_ir_i,$

где $r_i$ – средняя доходность i-го актива. В случае же использования логарифмических доходностей обычно для расчета волатильности применяют те же формулы, что и выше, хотя математически это не корректно. Разница несущественна в практических целях, но меня сейчас интересует теория. В случае логарифмических доходностей отдельных активов, общая доходность портфеля (также логарифмическая) будет равна не линейной комбинации, а следующему выражению:

$r=\ln(\sum\limits_{i=1}^{N}a_ie^{r_i}).$

Соответственно строго математически дисперсию (как и волатильность) данной величины некорректно считать по вышеприведенным формулам. Есть ли у кого-то идеи как правильно оценить дисперсию этой величины через ее составляющие? Как ее можно разложить в линейную комбинацию по аналогии с обычными доходностями?

2. Оцененная волатильность по корректной формуле из предыдущего вопроса (или просто волатильность одного актива, посчитанная на исторических данных с использование лог. доходностей) также будет выражена через логарифмическую доходность. Опять же по практике никто не переводит ее обратно в эффективную доходность. Хочу узнать мнение профессионалов насколько это корректно? Например, если мы считаем параметрический VaR в рублях и получили оценку волатильности, выраженную в логарифмических доходностях, то по идее же некорректно просто перемножить сумму инвестиций (руб.), эту волатильность и квантиль нормального распределения. Нужно же сначала получить волатильность, выраженную в эффективной доходности (ибо лог. доходность - номинальная): $e^\sigma-1$. Корректны ли мои рассуждения на этот счет? Опять же в практических целях это все в пределах погрешности, но меня это все интересует с точки зрения теории.

[upgrade]

Дисперсия - характеристика распределения, не всё ли равно, из каких величин оно состоит, если эти величины случайны и независимы (формула одна и таже для любых)?

[log_alexey]

upgrade в сообщении #1390393 писал(а):

Дисперсия - характеристика распределения, не всё ли равно, из каких величин оно состоит, если эти величины случайны и независимы (формула одна и таже для любых)?

Величины зависимы и меня интересует оценка дисперсии именно через компоненты. Например, дисперсию портфеля из двух активов можно посчитать двумя способами: 1. Через формулу дисперсии суммы двух величин $D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y)$. 2. Построить 3-ю величину для каждого дня наблюдений $d_1x_i+d_2y_i$, где $d_1, d_2$ - доли активов, $x_i, y_i$ - доходности активов в день i, и найти ее дисперсию по стандартной формуле. Так вот меня интересует первый способ, но для логарифмической доходности.

[upgrade]

Посмотрите стр 13 не оно?

[log_alexey]

upgrade в сообщении #1390420 писал(а):

Посмотрите стр 13 не оно?

К сожалению нет. Это просто описание экспоненциальный скользящей волатильности.