2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по волатильности портфеля...
Сообщение30.04.2019, 17:21 


30/04/19
8
Коллеги, добрый день!

Постараюсь быть максимально кратким. Я провожу одно количественное исследование и у меня возникло два вопроса в отношении расчета волатильности портфеля и оценки его VaR. Оба вопроса носят математический характер и связаны с тем, что в качестве исходных данных используется логарифмическая доходность согласно распространенной практике таких исследований и предположению, что цены распределены логнормально.

1. Для расчета волатильности портфеля обычно используют следующие формулы:

$\sigma=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}a_i^2\sigma_i^2+2\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j>i}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{N}\sum\limits_{j=1}^{N}a_ia_j\sigma_{ij}}=\sqrt{A^TVA},$

где $\sigma$ – волатильность портфеля;
$a_i$ – доля i-го актива;
$a_j$ – доля j-го актива;
$\sigma_i^2$ – дисперсия i-го актива;
$\sigma_{ij}$ – ковариация i-го актива c j-м активом;
$A^T$ – транспонированный вектор долей;
$V$ – ковариационная матрица;
$A$ – вектор долей.

Эти формулы корректно работают, если случайная величина (доходность портфеля) равна линейной комбинации:

$r=\sum\limits_{i=1}^{N}a_ir_i,$

где $r_i$ – средняя доходность i-го актива. В случае же использования логарифмических доходностей обычно для расчета волатильности применяют те же формулы, что и выше, хотя математически это не корректно. Разница несущественна в практических целях, но меня сейчас интересует теория. В случае логарифмических доходностей отдельных активов, общая доходность портфеля (также логарифмическая) будет равна не линейной комбинации, а следующему выражению:

$r=\ln(\sum\limits_{i=1}^{N}a_ie^{r_i}).$

Соответственно строго математически дисперсию (как и волатильность) данной величины некорректно считать по вышеприведенным формулам. Есть ли у кого-то идеи как правильно оценить дисперсию этой величины через ее составляющие? Как ее можно разложить в линейную комбинацию по аналогии с обычными доходностями?

2. Оцененная волатильность по корректной формуле из предыдущего вопроса (или просто волатильность одного актива, посчитанная на исторических данных с использование лог. доходностей) также будет выражена через логарифмическую доходность. Опять же по практике никто не переводит ее обратно в эффективную доходность. Хочу узнать мнение профессионалов насколько это корректно? Например, если мы считаем параметрический VaR в рублях и получили оценку волатильности, выраженную в логарифмических доходностях, то по идее же некорректно просто перемножить сумму инвестиций (руб.), эту волатильность и квантиль нормального распределения. Нужно же сначала получить волатильность, выраженную в эффективной доходности (ибо лог. доходность - номинальная): $e^\sigma-1$. Корректны ли мои рассуждения на этот счет? Опять же в практических целях это все в пределах погрешности, но меня это все интересует с точки зрения теории.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по волатильности портфеля...
Сообщение30.04.2019, 17:33 


07/08/14
3257
Дисперсия - характеристика распределения, не всё ли равно, из каких величин оно состоит, если эти величины случайны и независимы (формула одна и таже для любых)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по волатильности портфеля...
Сообщение30.04.2019, 18:02 


30/04/19
8
upgrade в сообщении #1390393 писал(а):
Дисперсия - характеристика распределения, не всё ли равно, из каких величин оно состоит, если эти величины случайны и независимы (формула одна и таже для любых)?


Величины зависимы и меня интересует оценка дисперсии именно через компоненты. Например, дисперсию портфеля из двух активов можно посчитать двумя способами: 1. Через формулу дисперсии суммы двух величин $D(x+y)=D(x)+D(y)+2cov(x,y)$. 2. Построить 3-ю величину для каждого дня наблюдений $d_1x_i+d_2y_i$, где $d_1, d_2$ - доли активов, $x_i, y_i$ - доходности активов в день i, и найти ее дисперсию по стандартной формуле. Так вот меня интересует первый способ, но для логарифмической доходности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по волатильности портфеля...
Сообщение30.04.2019, 19:32 


07/08/14
3257
Посмотрите стр 13 не оно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по волатильности портфеля...
Сообщение01.05.2019, 08:38 


30/04/19
8
upgrade в сообщении #1390420 писал(а):
Посмотрите стр 13 не оно?


К сожалению нет. Это просто описание экспоненциальный скользящей волатильности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: zhoraster, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group