Дифференцирование неявной функции

[Norma]

Lia

$$-(\frac{\partial F_1}{\partial x})/(\frac{\partial F_1}{\partial z})$$

[Lia]

Norma
Вы что-то несуразное написали, может, исправите?

Пользуйтесь кнопкой Предпросмотр, очень удобно.

[Norma]

Lia
После этого я пытаюсь вычислить то, что написано в моем вопросе.

[Lia]

Так вот эти производные - в числителе и знаменателе - это ч.п. по соотв. переменным, как по независимым переменным функции $F_1$. Иначе - как относиться к монстру в знаменателе - было бы непонятно. Лучше и не задумывайтесь об этом.

Будет очень хорошо, если Вы в формулах будете писать не только правую часть, но и левую.

[Someone]

Norma в сообщении #1390435 писал(а):

$u=x+y+z$
$v=x^2+y^2+z^2$
$F_1(x,y,z)=F(u,v)=0$
Дифференцируем $F_1$ по $x$:

$$\frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$$

Почему при дифференцировании $F_1$ по $x$ не учитываются слагаемые:

$$\frac{\partial F}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{\partial F}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}$$

, тут же $z$ зависит от $x$ и $y$.

Это банальность. Сначала у нас есть просто функция трёх независимых переменных $F_1(x,y,z)$. И частные производные от неё считаются как обычно для независимых переменных.
А потом мы говорим: "Пусть $z$ — функция переменных $x$ и $y$, заданная неявно уравнением $F_1(x,y,z)=0$". И хотим найти её частные производные. И тогда эти производные как-то выражаются через частные производные функции $F_1(x,y,z)$, которые вычисляются в предположении независимости $x$, $y$ и $z$.

[Norma]

-- 30.04.2019, 22:57 --

Someone
$F_1(x,y,z)=0$

1)Дифференцируем обе части по $x$:

$$\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

.
Тут почему-то переменная $z$ не считается независимой.

[Lia]

Norma в сообщении #1390469 писал(а):

Просто не совсем понятно, в каком случае переменную $z$ считать зависимой переменной, а в каком - независимой.

Для функции $F_1$ все ее переменные - независимы. По постановке задачи.
Следующая задача - где уравнением $F_1(x,y,z)=0$ неявно задается функция $z=z(x,y)$. То есть каждой точке $(x,y)$ ставится в соответствие $z$, так, чтобы выполнялось это соотношение.
Для функции $z=z(x,y)$, естественно, переменная $z$ зависима.
Но на независимость аргументов $F_1$ это не влияет.

[Norma]

Lia
Тогда почему в моем предыдущем сообщении производная $F_1$ по $x$ вычисляется в предположении, что $z=z(x,y)$?

[Lia]

Norma в сообщении #1390472 писал(а):

Тогда почему в моем предыдущем сообщении производная $F_1$ вычисляется в предположении, что $z=z(x,y)$?

Потому что вычисляется не производная функции $F_1(x,y,z)$.
Вычисляется производная тождественно нулевой функции $F_1(x,y,z(x,y))$.

[Norma]

Lia
Понятно. А еще такой вопрос:

$$\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

. Если $F_1$ тождественно равна 0, то почему не равны тождественно нулю: $\frac{\partial F_1}{\partial x}$ и $\frac{\partial F_1}{\partial z}$?

[Lia]

Norma в сообщении #1390476 писал(а):

Если $F_1$ тождественно равна 0, то почему не равны тождественно нулю: $\frac{\partial F_1}{\partial x}$ и $\frac{\partial F_1}{\partial z}$

Потому что равны. Если уж тождественно равна. Вы хотели задать другой вопрос.

-- 01.05.2019, 01:12 --

Norma в сообщении #1390476 писал(а):

Понятно.

Или это неправда )

[Norma]

Lia
Но чтобы получить ту формулу, о которой Вы меня спросили в начале, нужно поделить на ненулевой множитель $\frac{\partial F_1}{\partial z}$; поэтому они не могут быть тождественно равны 0.

[Lia]

Norma
Пусть $$F_1(x,y,z)\equiv 0$. Какую функцию задает уравнение $F_1(x,y,z)=0$?

Не путайте разные функции. $F_1(x,y,z)$ и внезапно запавшая Вам в душу $F_1(x,y,z(x,y))$ - не одно и то же.

А изначально истоки путаницы - в том, что Вы не понимаете, что такое неявно заданная функция.

-- 01.05.2019, 01:28 --

Но это ничего нового. Мало кто понимает с первого раза.
---
$F_1(x,y,z)= x^2+y^2-z$.
Пусть функция $z=z(x,y)$ задана неявно уравнением $F_1(x,y,z)=0$.
Можно ли задать ее явно? как?

[Norma]

Lia
$F_1(x,y,z)=0$ - нам же тут интересны только те $x$,$y$,$z$, при которых уравнение обращается в нуль. Согласен, что это происходит не при всех $x$,$y$,$z$

-- 30.04.2019, 23:33 --

Lia
Можно. $z=x^2+y^2$

[Lia]

Norma в сообщении #1390485 писал(а):

$z=x^2+y^2$

Ну вот она Ваша неявно заданная функция (уравнением $F_1(x,y,z)=0$), которую в данном случае можно пощупать руками.
Посчитайте $F_1(x,y,z(x,y))$. Подумайте, почему так получилось. Подумайте, всегда ли так будет получаться для неявных функций.