Дифференцирование неявной функции

[Norma]

Lia
Что значит посчитать $F_1(x,y,z(x,y))$?

[Lia]

В прямом смысле. Все функции (их тут две) известны. Найти композицию.
(Задание-то в стартовом посте подразумевает, что Вам известно, что такое композиция.)

[Dan B-Yallay]

Norma в сообщении #1390491 писал(а):

Что значит посчитать $F_1(x,y,z(x,y))$?

$$F_1(x,y,z(x,y)) = x^2+y^2-z = [z = x^2+y^2] = ... $$

[Norma]

Lia
А, все. Я почему-то подумал про частные производные. Получается тождественный нуль, и это верно для любых неявно заданных функций.

[Lia]

Norma
А теперь можете вернуться к Вашему вопросу post1390469.html#p1390469 и к ответу на него.
И заодно прикинуть, какое отношение к ним имеет все последовавшее про нулевость-ненулевость производных.

[Norma]

Lia
Большое спасибо!

[Lia]

Пожалуйста. Но на самом деле, этот способ тоже хорош.
"Уравнение $F_1(x,y,z)=0$ задает неявно функцию $z=z(x,y)$" - это просто короткий способ сказать, что каждой точке $(x,y)$ в некоторой области может быть поставлена в соответствие ровно одна точка $z$ (или в некотором смысле одна: см. теорему о существовании и единственности неявной функции), такая что тройка $(x,y,z(x,y))$ является решением уравнения.

Стало быть $F_1(x,y,z(x,y))\equiv 0$.
Ну и дифференцируем теперь сколько хочешь раз. И находим наши производные.

Norma в сообщении #1390476 писал(а):

$$\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

Обратите внимание, что из полученного равенства можно выразить производную $z'_x$, и выйдет в точности то же, что и по формуле.
Ничто не мешает продолжить работу в том же духе.

(Кстати, в стартовом посте у Вас для этого есть заготовка.)

Многие предпочитают этот способ.
Но знать надо оба, конечно - тем более, что один полностью доказывается на основе другого. Прямо в соотв. теореме.

-- 01.05.2019, 02:18 --

Еще: задание может звучать и по-другому. Одно и то же уравнение может задавать самые разные функции. Поэтому обращайте на это внимание.
Скажем, тем же уравнением $x^2+y^2=z$ (при нужных предположениях) может быть задана не только функция $z(x,y)$, но и функция $x(y,z)$ и т.д. Поэтому вначале у Вас и вытряхивали так долго, что же нужно.

(В тырнетах обычно пишут как-то вовсе безграмотно, я проверила. Не ходите туда :))

[Someone]

Norma в сообщении #1390469 писал(а):

Someone
$F_1(x,y,z)=0$

1)Дифференцируем обе части по $x$:

$$\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_1}{\partial z} \frac{\partial z}{\partial x}=0$$

.
Тут почему-то переменная $z$ не считается независимой.

Обратите внимание, что "дифференцируем обе части", то есть, рассматриваем не функцию $F_1(x,y,z)$, в которой переменные $x$, $y$, $z$ независимы, а уравнение $F_1(x,y,z)=0$, в котором мы пожелали считать $z$ функцией переменных $x$ и $y$, определяемой из этого уравнения. Вы не видите разницы?
В соответствии с этим частные производные $\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}$, $\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial y}$ и $\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}$ вычисляются так, будто $x$, $y$ и $z$ независимые, а выражение $$\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial x}+\frac{\partial F_1(x,y,z)}{\partial z}\frac{\partial z}{\partial x}$ есть полная производная, вычисляемая в предположении, что $z$ есть функция переменной $x$, и получается оно из формулы производной сложной функции.

Впрочем, Вам всё это усиленно объясняли. Будем надеяться, что Вы поняли.