Деление с остатком и частный случай

[nide9]

Во многих учебниках говорится, что деление без остатка - частный случай деления с остатком.
Однако в книгах по теории чисел сначала даётся определение делимости: число $a$ делится нацело на число $b$ если найдется такое целое $q$ , что $a = bq$
А потом теорема: всякое целое число $a$ представляется единственным образом через положительное целое $b$ в форме: $a = bq + r$ , где $r$ - целое от $0$ до $b$. Причем в доказательстве иногда употребляют слово "кратный".
Если деление нацело - частный случай деления с остатком, то почему оно упоминается при определении общего случая ?
В "Теории чисел" А.А. Бухштаба даже есть теорема: $b$ является делителем $a$ тогда и только тогда, когда остаток от деления $a$ на $b$ равен нулю.
Корректно ли вообще говорить, что деление без остатка - частный случай деления с остатком

[iifat]

Что вас конкретно не устраивает, не понял. 1 — частный случай натурального числа. Однако таки много где упоминается.

[svv]

nide9 в сообщении #1390362 писал(а):

почему оно упоминается при определении общего случая ?

Где оно там упоминается?
Мой вопрос не означает, что если бы оно там упоминалось, это было бы ужасно: вполне допустимо определять более общую операцию через менее общую (которая после такого определения становится частным случаем более общей). Мне просто интересно.

[nide9]

iifat в сообщении #1390363 писал(а):

Что вас конкретно не устраивает, не понял. 1 — частный случай натурального числа. Однако таки много где упоминается.

Никто же не определяет число через единицу

[Lia]

nide9
Я сейчас отнесу обе Ваши темы (одну слегка с опозданием) в Карантин для правки.
1. Оформляйте все формулы, даже состоящие из одного символа.
2. Доллары по краям ставьте.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[iifat]

nide9 в сообщении #1390367 писал(а):

Никто же не определяет число через единицу

Вообще-то, именно так и определяются натуральные. Иногда через единицу, иногда через нуль.

[nide9]

svv в сообщении #1390364 писал(а):

nide9 в сообщении #1390362 писал(а):

почему оно упоминается при определении общего случая ?

Где оно там упоминается?
Мой вопрос не означает, что если бы оно там упоминалось, это было бы ужасно: вполне допустимо определять более общую операцию через менее общую (которая после такого определения становится частным случаем более общей). Мне просто интересно.

В доказательстве возможности разделить с остатком любое число. "Действительно, одно представление $a$ в такой форме получим, взяв $bq$ равным наибольшему кратному числа $b$, не превосходящему $a$".
И можете привести такой пример, когда более общее определяется через менее общее?

-- 30.04.2019, 17:36 --

iifat в сообщении #1390377 писал(а):

nide9 в сообщении #1390367 писал(а):

Никто же не определяет число через единицу

Вообще-то, именно так и определяются натуральные. Иногда через единицу, иногда через нуль.

Насколько я понимаю, натуральное число определяется как класс равномощных множеств. Число 1 - класс множеств, равномощных с индивидуальным множеством M, определенным так, что $a$ и только $a$ есть элемент множества M. То есть 1 определяется через определение натурального числа, а остальные числа определяются через сумму с единицей
Первая аксиома Пеано: 1 является натуральным числом

[Someone]

nide9 в сообщении #1390378 писал(а):

Насколько я понимаю, натуральное число определяется как класс равномощных множеств.

Это где оно так определяется? В теории множеств (например, в ZFC) натуральные числа определяются как элементы наименьшего индуктивного множества. Никаких "классов" там нет. В NBG классы есть, но натуральные числа определяются так же, как в ZFC. И причина в том, что для вашего определения натуральных чисел необходимо иметь определение конечного множества, а весь фокус в том, что такого определения, независимого от натуральных чисел, не существует. (Да, есть определение Дедекинда, но оно при наличии аксиомы выбора равносильно определению через натуральные числа, а без аксиомы выбора появляются всякие пакостные множества, мощности которых называть натуральными числами никак не хочется.)

[nnosipov]

nide9 в сообщении #1390362 писал(а):

Однако в книгах по теории чисел сначала даётся определение делимости: число $a$ делится нацело на число $b$ если найдется такое целое $q$ , что $a = bq$

Нужно различать делимость (как отношение) и деление с остатком (как операцию). Вопрос: ноль делится на ноль? Ответ: да. Вопрос: можно ноль разделить на ноль с остатком? Ответ: Нет.