Двухчастичный оператор

[StaticZero]

Читаю Atland, Simons Condensed Matter Field Theory, 2nd ed.

Соотношение (2.16) даёт представление двухчастичного оператора
Там написано

Цитата:

More generally, turning to a non-diagonal basis, it is straightforward to confirm that a general two-body operator can be expressed in the form

$$ \hat {\mathcal O}_2 = \sum \limits_{\lambda \lambda' \mu \mu'} \mathcal O_{\mu \mu' \lambda \lambda'} \hat a^\dagger_\mu a^\dagger_{\mu'} \hat a_\lambda \hat a_{\lambda'} \eqno{(2.16)} $$

У меня вопрос: а какой вид в диагональном базисе тогда?

Я хочу увидеть аналогию с одночастичным оператором, но не получается. Тот случай я понял так: посмотрим, как реально действует одночастичный оператор на полностью антисимметричную волновую функцию многих частиц. Оказывается, что если она представлена, как слэтеровский определитель из с. ф. одночастичного "элементарного" оператора, то можно просто перебрать все состояния и включить в собственное число только те, у которых число заполнения 1. Потом легко видеть, что в случае с бозонами надо включать его в виде $E_\alpha n_\alpha$, где $\alpha$ --- индекс базисного вектора одночастичного оператора, $n_\alpha$ --- соотв. число заполнения, $E_\alpha$ --- с. ч. состояния $\alpha$. Тогда получаем $\hat {\mathcal O}_1 = \sum_\alpha E_\alpha \hat n_\alpha$. Потом можно перейти в недиагональный базис, разложив единицу; получим представление (2.11) по Книжке.

Здесь затрудения такие: какой именно базис диагонален или не диагонален относительно какого именно оператора?

Там дальше внизу пишут, что $\mathcal O_{\mu \mu' \lambda \lambda'} = \left \langle \mu \mu' \middle| \hat {\mathcal O}_2 \middle| \lambda \lambda' \right \rangle$. Моя интуиция подсказывает, что мы ищем базис "элементарного" оператора $\hat o_2$ в двухчастичном пространстве Фока. (Элементарный в том смысле, что потом двухчастичный собирается из сумм таких операторов, действующих на $ij$ частицы.) Будем нумеровать состояние пока одним индексом $G$. Тогда определим число заполнения этого состояния как раньше, то есть $\hat n_G = \hat a^\dagger_G \hat a_G$. Если состояние $G$ собственное для двухчастичного оператора $\hat o_2$, то всё хорошо и мы имеем представление $\hat {\mathcal O}_2 = \sum_{G} F_G \hat a^\dagger_G \hat a_G$, где $F_G$ --- с. з.

Теперь мы знаем, что двухчастичные функции состоят из одночастичных в виде линейных комбинаций, делённых на $\sqrt 2$. Нам интересно работать в базисе какого-нибудь удобного одночастичного оператора $\hat A$. Мы берём представление это оператора, у которого волновые функции $\psi_\alpha$. Мы делаем из них линейные комбинации $\frac{\psi_{\alpha}(\mathbf r_1) \psi_{\alpha'}(\mathbf r_2) - \psi_{\alpha}(\mathbf r_2) \psi_{\alpha'}(\mathbf r_1)}{\sqrt 2}$, обозначаем их другим индексом $H_{\alpha \alpha'}$. Выражаем двухчастичный базис $G$ как в одночастичном случае, должны получить тогда

$$ \hat {\mathcal O}_2 = \sum_{HH'} V_{HH'} \hat a^\dagger_H \hat a_H = \sum_{\alpha \alpha' \beta \beta'} V_{\alpha \alpha' \beta \beta'} \hat a^\dagger_{\alpha}\hat a^\dagger_{\alpha'} \hat a_{\beta} \hat a_{\beta'}. $$

Я себе этот процесс правильно представляю или заблуждаюсь где-то?

[amon]

StaticZero в сообщении #1389203 писал(а):

У меня вопрос: а какой вид в диагональном базисе тогда?

Как всегда, попытаюсь угадать, что Вы на самом деле хотели спросить ;)
Исходным строительным "кирпичом" КТП является оператор поля $\hat{\Psi}(x).$ Его можно раскладывать по любому полному набору обычных функций. В качестве такого набора обычно берут полную систему решений свободного классического уравнения движения для данного поля (например, одночастичного уравнения Шредингера). Тогда $\hat{\Psi}(x)=\sum\limits_{\alpha}\hat{a}_\alpha \varphi_\alpha(x).$ Теперь мы хотим ввести взаимодействие вида $\text{(плотность)}(x')V(x',x)\text{(плотность)(x)}.$
Плотность у нас это $\hat{\Psi}^+(x)\hat{\Psi}(x),$ Тогда взаимодействие будет выглядеть как $\int dx\,dx'\;\hat{\Psi}^+(x)\hat{\Psi}^+(x')\hat{\Psi}(x')\hat{\Psi}(x)V(x',x).$ Порядок операторов $\hat{\Psi}(x)$ выбран так, что бы вакуумное и одночастичное среднее этого оператора было нулем (последнее означает, что частица сама с собой не взаимодействует).

Теперь распишем это безобразие через $\hat{a}.$

$$\sum\limits_{\alpha}\sum\limits_{\alpha'}\sum\limits_{\beta'}\sum\limits_{\beta}a^+_\alpha a^+_{\alpha'} a_{\beta'} a_\beta\int dx\,dx'\;\varphi_\alpha^*(x)\varphi_{\alpha'}^*(x')\varphi_{\beta'}(x')\varphi_\beta(x)V(x',x),$$

то есть, то, что Вы хотели. Вообще говоря, дальше, в общем случае, ничего не выражается и не диагонализуется. Мнемоническое правило такое: операторы рождения и уничтожения во взаимодействие входят только парами, причем, операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения ("нормальный порядок операторов"). "Кратность" взаимодействия считается по числу, скажем, операторов рождения: если один ($a^+aV,$) то одночастичное, два - двухчастичное и т.д.

-- 25.04.2019, 01:50 --

Насчет "всегда парами" это я погорячился, но пока не будем забивать этим голову.

[StaticZero]

amon, я хотел из рассуждений оператор поля совсем изгнать. В своём желании я опираюсь на то, что в лекционных материалах я вижу следующее:

$$ \hat \Psi(\mathbf r) = \sum_{\lambda} \left \langle \mathbf r \middle| \lambda \right \rangle \hat c^\dagger_\lambda, $$

то есть это просто запись оператора в... в базисе собственных функций оператора координаты, то есть дельт, видимо. (Ступая по дороге начал КТП, я не уверен в себе.)

Ну если это просто такое представление, то и плевать, не будем его использовать - будем переходить от базиса к базису минуя полевой оператор. Вроде бы, так можно.

amon в сообщении #1389285 писал(а):

Вы на самом деле хотели спросить ;)

Вопрос был, мне кажется, хорошо поставлен (в отличие от предыдущих моих потуг). Там была фраза: in non-diagonal basis. Подразумевается, что есть ещё и diagonal basis. Какой же именно?

А дальше мои вялые попытки рассуждать на тему базисов в двухчастичном пространстве Фока для уточнения тех моментов, где мой затык находится.

[amon]

StaticZero в сообщении #1389686 писал(а):

В своём желании я опираюсь на то, что в лекционных материалах я вижу следующее:

$$ \hat \Psi(\mathbf r) = \sum_{\lambda} \left \langle \mathbf r \middle| \lambda \right \rangle \hat c^\dagger_\lambda, $$

А я тоже самое и написал: $\hat{\Psi}(x)=\sum\limits_{\alpha}\hat{a}_\alpha \varphi_\alpha(x),$ только у Вас крестик лишний.

StaticZero в сообщении #1389686 писал(а):

Там была фраза: in non-diagonal basis. Подразумевается, что есть ещё и diagonal basis. Какой же именно?

В общем случае такого базиса нет. Одночастичный оператор сохраняет число частиц, и его всегда можно переписать как $\sum\limits_{\alpha}\varepsilon_\alpha\hat{a}_\alpha^+\hat{a}_\alpha.$ Для четырехфермионного взаимодействия такой трюк изредка тоже проходит (преобразование Боголюбова для сверхпроводников, например), но в общем случае ничего не диагонализуется. Что имели в виду авторы - who knows.

[Munin]

amon в сообщении #1389689 писал(а):

только у Вас крестик лишний.

Почему? Это же оператор рождения. Без крестика - уничтожения.

[warlock66613]

Munin, так слева-то тоже $\hat\Psi$, а не $\hat\Psi^+$.

[StaticZero]

Это опечатка. Слева он тоже должен был быть.

Так а что всё-таки с двухчастичным пространством? Там вообще можно базис выбрать $\hat c^\dagger_1 \hat c^\dagger_2 \left| 0 \right \rangle$, перебирая все одночастичные состояния?

[amon]

StaticZero в сообщении #1389749 писал(а):

Так а что всё-таки с двухчастичным пространством? Там вообще можно базис выбрать $\hat c^\dagger_1 \hat c^\dagger_2 \left| 0 \right\rangle$, перебирая все одночастичные состояния?

После некоторых размышлений о том, что же Вы опять такое спросили (это не от, а для - спрашивайте дальше, вопросы у Вас хорошие) отвечу так.
1. В линейном пространстве двухчастичных - базис, только это не Гильбертово пространство квантовой механики. Действие оператора импульса (он содержит оператор уничтожения, если Вы понимаете, о чем я) моментально выкидывает состояние из разряда двухчастичных.
2. Двухчастичное взаимодействие действует в более широком (вообще говоря, даже не Фоковском) пространстве, и ограничивать его действие только пространством двухчастичных состояний неразумно по вышеуказанной причине. (Фоковским называют пространство, полученное действием любого конечного числа операторов рождения, если что.)

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1390296 писал(а):

Двухчастичное взаимодействие действует в более широком (вообще говоря, даже не Фоковском)

То, что в нефоковском --- утверждение довольно странное.

-- Вт апр 30, 2019 13:41:12 --

amon в сообщении #1390296 писал(а):

Действие оператора импульса (он содержит оператор уничтожения, если Вы понимаете, о чем я) моментально выкидывает состояние из разряда двухчастичных.

$$ \sum_k ka^+_ka_k $$

Выводит двух- (вообще N-) частичное состояние из числа таких состояний???

-- Вт апр 30, 2019 13:45:26 --

StaticZero в сообщении #1389749 писал(а):

Там вообще можно базис выбрать $\hat c^\dagger_1 \hat c^\dagger_2 \left| 0 \right \rangle$, перебирая все одночастичные состояния?

Да, можно. Но это будет лишь двухчастичное подпространство всего фоковского пространства. В принципе многое (но не все) можно решить в таком подпространстве, но только в том частном (довольно распространенном, скажем, в теории конденсированного состояния, но исключительно редком в релятивистской КТП) случае ЕСЛИ гамильтониан коммутирует с оператором числа частиц $\sum_ka^+_ka_k$. А вот такое условие коммутации выполняется отнюдь не всегда.

-- Вт апр 30, 2019 13:48:56 --

amon в сообщении #1390296 писал(а):

Двухчастичное взаимодействие действует в более широком ... пространстве, и ограничивать его действие только пространством двухчастичных состояний неразумно

Пожалуй, оператор, не сохраняющий общее число частиц, не следует называть двухчастичным. И вообще скольки-нибудь-частичным. Хотя, конечно, такие операторы бывают. Ну чего за примером далеко ходить: оператор ЭМ взаимодействия $A\bar{\psi}\gamma\psi$ содержит тройки операторов рождения/уничтожения (один фотонный и два электронных). При этом сохранение числа частиц ну никак нельзя получить. Он даже в проекции на электронное подпространство (ну, пусть $A$ -- классическое поле) не сохраняет число частиц, ибо $\psi$ содержит не только операторы уничтожения электронов $a$, но и операторы рождения позитронов $b^+$. Так что получатся в т.ч. и члены вида $ab$ и $a^+b^+$.

А вот в нерелятивистской теории очень часто рассматривают поля (пусть это $\Psi$), которые состоят ТОЛЬКО из операторов уничтожения (естественно, сопряжение превращает в рождения). При этом взаимодействия часто (но опять же не всегда) имеют вид типа $\Psi^+\Psi^+\Psi\Psi$. Я опускаю индексы, множители, сумму и т.п. Только такие взаимодействия следовало бы называть двухчастичными. Свободный гамильтониан типа $\Psi^+\Psi$. В в таком ( и только таком!!!) случае весь гамильтониан сохраняет число частиц и можно, в принципе, работать в $N$- (в частности в двух-) частичном подпространстве.

Например, рассматриваем систему двух частиц (в процессе эволюция при ТАКОМ гамильтониане она и остается системой именно двух частиц). Пишем:

$$ | 2 \rangle = \int \phi(x_1,x_2) \Psi^+(x_2)\Psi^+(x_1) dx_1dx_2 |0\rangle $$

Подставляем это в уравнение Шредингера и, немного позанимавшись коммутациями, получаем уравнение на уже обычную числовую, не операторную функцию $\phi$.

Мне припоминается, что таким манером подобная задача про два магнона, например, была решена в книге Криворучко, Барьяхтара, Яблонского (название забыл, что-то про функции Грина и магнетизм). Вот только не помню, магнонный гамильтониан точно сохраняет число магнонов, или просто приближенно выкинули не сохраняющие слагаемые... Наверное, все же полный гамильтониан сохраняет, сохранение момента по сути...

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1390309 писал(а):

Он даже в проекции на электронное подпространство (ну, пусть $A$ -- классическое поле) не сохраняет число частиц, ибо $\psi$ содержит не только операторы уничтожения электронов $a$, но и операторы рождения позитронов $b^+$.

В релятивистской КТП принято частицы объединять с античастицами, и говорить, что если сохраняется разность числа частиц и античастиц, то это сохранение числа частиц. В т. ч., для электронно-позитронного поля число частиц сохраняется.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1390345 писал(а):

говорить, что если сохраняется разность числа частиц и античастиц, то это сохранение числа частиц

Довольно странная традиция. Но, даже если так, это совсем не то, что нужно для того, чтобы можно было работать в $N$-частичном подпространстве. Для этого нужно сохранение числа частиц совсем в другом, более прямолинейном смысле.

[amon]

Alex-Yu в сообщении #1390309 писал(а):

$\sum_k ka^+_ka_k$

Это я действительно нечетко сказал. Имелась в виду канонически сопряженная полю переменная. Например, для одночастичного Шредингера лагранжиан $L=\int dr\,\Psi^*(\partial_t+H_0)\Psi,$ и канонический импульс $\pi=\frac{\delta L}{\delta(\partial_t\Psi)}=\Psi^*$ после квантования вышибает состояние из класса двухчастичных.

Alex-Yu в сообщении #1390309 писал(а):

То, что в нефоковском --- утверждение довольно странное.

Фоковское состояние - состояние с конечным числом возбуждений над вакуумом. В противном случае возникают всякие проблемы. Скажем, при Бозе-конденсации в конденсате число частиц бесконечно, и надо переопределять вакуум и вводить преобразование Боголюбова, что бы вернуться к Фоковской картине мира. Тем не менее, оператор двухчастичного взаимодействия определен и в таких "патологических" случаях.

Alex-Yu в сообщении #1390309 писал(а):

При этом взаимодействия часто (но опять же не всегда) имеют вид типа $\Psi^+\Psi^+\Psi\Psi$.

В "высоких" науках такое взаимодействие называют четырехфермионным (бозонным). Двухчастичное - это твердотельный сленг. К стати, взаимодействие $A\bar{\psi}\gamma\psi$ в электродинамике формально можно свести к четырехфермионному, проинтегрировав соответствующий функциональный интеграл по $A$ - он гауссов. Так что такое взаимодействие не шибко отличается от четырехфермионного.

[Alex-Yu]

amon в сообщении #1390353 писал(а):

ем не менее, оператор двухчастичного взаимодействия определен и в таких "патологических" случаях.

Там уже взаимодействие других частиц (точнее квазичастиц) и оператор их взаимодействия уже не двухчастичный (в том смысле, что я выше писал). И, кстати, из пространства Фока эти операторы состояние не выводят в любом случае. Конечный полином по операторам рождения/уничтожения ничего такого сделать не может.

Нет, можно, конечно, установить соглашение, что оператор четвертой степени по полю ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ называется двухчастичным. Но мне такое соглашение совсем не нравится. Да и не сказать, что оно общепринято. И вообще слово "двухчастичный" это не из теории поля, это из квантовой механики фиксированного числа частиц.

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1390349 писал(а):

Довольно странная традиция.

Дело в том, что частицы без античастиц при релятивистских энергиях не сохраняются вообще никогда.
Но согласен, что в cond-mat это выглядит странно, например, когда одному виду электронов соответствуют два вида дырок, или наоборот. Тут надо детальнее работать.

-- 30.04.2019 15:00:25 --

amon в сообщении #1390353 писал(а):

К стати, взаимодействие $A\bar{\psi}\gamma\psi$ в электродинамике формально можно свести к четырехфермионному, проинтегрировав соответствующий функциональный интеграл по $A$ - он гауссов. Так что такое взаимодействие не шибко отличается от четырехфермионного.

То есть, заменить уравнения Максвелла на закон Кулона? Вроде бы, можно не совсем: а что вы будете делать со свободными волнами (реальными фотонами)? И вроде бы, получится взаимодействие нелокальное. Как я слышал, этот фокус больше подходит для юкавского взаимодействия с большой массой промежуточной частицы - например, для слабого или для межнуклонного (переносчик $\pi$-мезон). И для низких энергий, меньших массы этой частицы.

[amon]

Munin в сообщении #1390357 писал(а):

То есть, заменить уравнения Максвелла на закон Кулона?

Не кулона, хитрее. Называется преобразование кого-то-Страфановского, если не ошибаюсь. Если интересно - вечером могу написать.