Область сходимости степенного ряда

[Ёж]

Дан степенной ряд $\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_n x^n $. Если умножим каждый член ряда на $x^k$, где $k$ - натуральное число, получим ряд $x^k\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_n x^n $.
Правильно ли, что области сходимости данных рядов совпадают?

[ewert]

Ряд сходится. Останется ли он сходящимся, если умножить его на константу?

Аналогичный вопрос -- для расходящегося.

[Ёж]

ewert в сообщении #1390306 писал(а):

Ряд сходится. Останется ли он сходящимся, если умножить его на константу?

Аналогичный вопрос -- для расходящегося.

Сходится при любой константы. Расходится, если данная константа не ноль.
Таким образом область сходимости данных рядов совпадают.

Тоже самое относится для $\frac{1}{x^k}\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_n x^n $?

[Someone]

Ёж в сообщении #1390310 писал(а):

Тоже самое относится для $\frac{1}{x^k}\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_n x^n $?

А что там с делением на $0$?

С индексом суммирования у Вас непорядок.

Но при вашей записи непонятно, каким образом нечто, находящееся вне ряда, может повлиять на его свойства. Имелось в виду не $\frac{1}{x^k}\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_i x^i $, а $\sum\limits_{i=0}^{\infty}a_ix^{i-k}$ ?