Статистическое распределение заряженных тел в шаре

[Nikita_Matckevich]

Здравствуйте! Никак не могу решить следующую задачу по стат физике:
В шаре радиуса R (который не является проводником) расположены $N$ шариков массы $m$, радиуса $r$ и заряда $q$. В центре шара расположен неподвижный точечный заряд $N\cdot q$. Требуется найти распределение шариков внутри шара. И сравнить результат с электростатикой (что бы это ни значило).
Сначала у меня возникло предположение, что все шарики распределятся равномерно по поверхности шара из-за сил отталкивания между телами, имеющими заряд одного знака. Но тогда непонятно, зачем даны масса и радиус. Да и при чем тут стат. физика?
Нетрудно, конечно, выписать полную систему уравнений движения моей системы. Естественно, эта система не решается аналитически при любых нач. данных, которых у меня, к слову, нет. Опять же, это совсем не стат. физика.
Если подходить к задаче с точки зрения стат. физики, тут опять проблема: энергии шариков существенно зависят от их взаимного расположения, которое нам и неизвестно. Так что, кажется, мы никак не можем оперировать энергиями шариков.
Преподаватель написал эту задачу в тетради от руки, и я не уверен, что я правильно истолковал ее условие. Сам преподаватель не выходит на связь. Буду рад, если кто-нибудь расскажет мне, решаема ли задача в такой постановке, и если да, то какими примерно методами.
К сожалению, я не могу привести более содержательное решение этой задачи, но и не прошу целиком решать ее. Хотелось бы получить хотя бы совет, с чего возможно начать. Вся математика меня не волнует, сложности вызывает непонимание природы процесса.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (Ф)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задачи.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[Munin]

Nikita_Matckevich в сообщении #1389765 писал(а):

В шаре радиуса R (который не является проводником) расположены $N$ шариков массы $m$, радиуса $r$ и заряда $q$. В центре шара расположен неподвижный точечный заряд $N\cdot q$.

И там и там $Nq.$ Возникает подозрение, что это заряды разных знаков, например, маленькие шарики положительные, а в центре $-Nq.$

[Nikita_Matckevich]

Да, это возможно. Тогда, вероятно, они должны притягиваться к центру шара. Но мне такая постановка не кажется проще, потому как снова неясно, чем пользоваться для подсчета распределения.

[Munin]

Какой предмет вы проходите, на каком курсе? Каковы другие типичные задачи, которые вам задавали?

[Nikita_Matckevich]

Предмет "общая физика", 4 курс математического факультета. Этот курс физики у нас очень короткий, ознакомительный, никаких сложных задач быть не должно.
Классическая задача на тему "стат. физика" - посчитать распределение $N$ частиц, находящихся под воздействием силы тяжести, или вращающихся в центрифуге с постоянной скоростью.
Основное отличие таких задач от моего случая я вижу в том, что энергия частицы в подобных случаях зависит исключительно от ее координат. Таким образом, имея вероятностное распределение частиц, допустим, по уровню потенциальной энергии, мы сможем найти зависимость концентрации частиц от координаты (т. е., как нам и нужно, узнаем приблизительно, в каком слое сколько частиц).
Тут же энергия есть функция от расстояний частиц друг от друга (т.е. от концентрации, фактически). Получаем замкнутый круг.
Заранее прошу прощения, если наговорил ерунды, но мне, как просто математику, это видится примерно так.

[svv]

Может быть, на заряженные шарики действует, в том числе, сила тяжести?

[Alex-Yu]

Nikita_Matckevich в сообщении #1389765 писал(а):

Да и при чем тут стат. физика?

Может дело в распределении Больцмана? Самосогласованная задача. Естественно, эта задача точно не решается, но методом среднего поля, без учета корреляций... Зачем, правда при этом массы и радиусы... А ни зачем, быть может, наплевать на них А вот температура понадобится. Ну что за статфизика без температуры...

-- Сб апр 27, 2019 22:55:36 --

Nikita_Matckevich в сообщении #1389829 писал(а):

Тут же энергия есть функция от расстояний частиц друг от друга (т.е. от концентрации, фактически). Получаем замкнутый круг.

Разорвать его, заменив точное значение энергии на среднюю энергию. Метод среднего поля называется.

[Munin]

Nikita_Matckevich в сообщении #1389829 писал(а):

Классическая задача на тему "стат. физика" - посчитать распределение $N$ частиц, находящихся под воздействием силы тяжести, или вращающихся в центрифуге с постоянной скоростью.

Э, а что такое "распределение $N$ частиц"? У вас на математическом факультете какой-то свой жаргон.

[feedinglight]

А если применить 2-й закон Ньютона(численно, пошагово, добавив вязкости, чтобы затухало), чтобы потом сравнить с распределением Больцмана (и с другими, вдруг похоже получится на что-то)?...
Есть такая задача: разбить сферу на сферические четырёхугольники, чтобы они были наиболее близки к квадратам. Наверняка в Вашем случае не плохая сеточка получится (если знак зарядов одинаковый). Но наверно для треугольников..

адд.
Туплю, раз даны массы, наверно действительно, как предположили выше, действует сила тяжести. Но численно всё равно можно найти равновесие.

[svv]

Хочется сделать вот что. Считая, что шарики очень малы и их очень много, перейдём к непрерывному описанию. Теперь у нас распределение шариков характеризуется плотностью заряда и плотностью массы (эти величины связаны постоянным коэффициентом пропорциональности $q/m$). Известен полный заряд и полная масса. На «облако» шариков действует 1) оно само (т.е. одни части «облака» на другие части), 2) центральный заряд и 3) сила тяжести. Конечный радиус шариков проявляется в том, что плотность «облака» ограничена сверху каким-то значением (порядка $\frac m{r^3}$). Ну, и всё это заперто в большом шаре радиуса $R$. Найти распределение плотности, при котором потенциальная энергия системы минимальна.

[Sicker]

Если энергия неизвестна то предположу что она установится такая, при которой "энтропия" больше всего

[Nikita_Matckevich]

Большое спасибо за помощь!

-- 28.04.2019, 08:55 --

Munin в сообщении #1389845 писал(а):

Э, а что такое "распределение $N$ частиц"? У вас на математическом факультете какой-то свой жаргон.

Я хотел сказать - сколько примерно частиц расположены в заданной подобласти области (зависимость концентрации частиц от координаты внутри данного объема). Например, как оценить долю частиц, находящихся на расстоянии от $r$ До $r+dr$ от центра центрифуги/шара и тп.

[Munin]

Уже теплее. А что предполагается о частицах? Какая-то температура, средняя энергия? Какие-то параметры распределены равномерно?