Топология слоений

[bayak]

Хорошо, раз не оценили вы красоту моих примеров, то ответьте, пожалуйста, на простой вопрос. Перед вами система линейных векторных полей, которая порождает алгебру $M_2(\mathbb{C})$ и соответствующую ей алгебру Ли $sl_2(\mathbb{C})$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} \upsilon_1&=x_2\partial x_1 - x_1\partial x_2& \\ \upsilon_2&=x_4\partial x_3 - x_3\partial x_4& \\ \upsilon_3&=x_4\partial x_1 - x_3\partial x_2& \\ \upsilon_4&=x_2\partial x_3 - x_1\partial x_4& \\ \end{array} \right.$$

Видите ли вы здесь алгебру вращений окружности в $\mathbb{R}^4$?

[svv]

Не вижу. Поля $v_1$ и $v_2$ соответствуют вращениям, а $v_3$ и $v_4$ — нет.

[bayak]

svv, Вы правы, третье и четвёртое поля не соответствуют вращениям. В то же время, если векторные поля рассматривать как касательные к траекториям кольца, то первое и второе поле соответствуют вращениям кольца произвольного диаметра, а третье и четвёртое - поступательным движениям кольца. Конечно, это не произвольные поступательные движения, а только те, которые (как можно увидеть из другого базиса алгебры) получаются при скольжении кольца либо по поверхности 3-сферы евклидова пространства, либо по поверхности гиперсфер пространств с нейтральной метрикой.

[svv]

Попробую Вас понять. Что я могу представить:
В $\mathbb R^4$ возьмём 3-сферу, например, $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$. На этой сфере располагаем кольцо. Это, наверное, $S_1$. Кольцо можно 1) смещать по 3-сфере, 2) вращать. При этом вращение может быть в 2-плоскости кольца, тогда оно отображает кольцо в себя. А может эту 2-плоскость менять. Каждому из этих движений можно сопоставить векторное поле или набор базисных полей.

Что мне непонятно:
1) Зачем говорить о кольце, почему не говорить об отображениях (группах отображений) $\mathbb R^4$ на себя?
2) Где здесь поступательные движения?

[Munin]

svv в сообщении #1389792 писал(а):

Попробую Вас понять.

bayak-то? Его на протяжении десяти лет никто понять не может, и сам он этому не способствует, и сам себя понять не может.

svv в сообщении #1389792 писал(а):

На этой сфере располагаем кольцо. Это, наверное, $S_1$.

Важно уточнить, единичного радиуса или меньше.

[bayak]

svv, следует понимать, что в том базисе алгебры, где рассматриваются движения в евклидовом пространстве и пространствах с нейтральной метрикой, имеют место парные вращения и псевдовращения, и поэтому на самом деле вращать надо не одно кольцо, а сразу два. Впрочем, как сказал Munin, всё это мои домыслы и доверять им не стоит. Однако попробуйте проверить мои слова, вдруг и Вы увидите здесь вращение 2-тора в $\mathbb{R}^4$.

[svv]

Приходится сделать вывод, что понимать тут всё следует хитро, не буквально.
Вращение на самом деле не совсем вращение. В группу вращений каким-то образом включаются и поступательные движения. Кроме того, есть ещё какие-то псевдовращения.
Кольцо на самом деле не одно, их два. И это вовсе не окружность, как Вы писали тут, теперь это 2-тор.

Что я сам могу добавить к этому букету? Что Ваше поступательное движение на самом деле тоже не совсем поступательное, и не совсем движение.
Смотрите, поступательное движение — это движение, верно? Движение сохраняет метрику. В таком случае соответствующее векторное поле $v$ должно удовлетворять уравнению Киллинга. В наших прямоугольных координатах, при отсутствии всяких кристоффелей оно сводится к тому, что коэффициенты $c_k$ разложения поля $v$ по базисным полям $\partial_k$ должны удовлетворять уравнению
$\frac{\partial c_i}{\partial x_j}+\frac{\partial c_j}{\partial x_i}=0$
Легко проверить, что первые два Ваших поля удовлетворяют этому уравнению, а третье и четвёртое — нет. Оно и понятно: третье поле, например, смещает точку вдоль $x_1$ тем быстрее, чем больше $x_4$, стало быть, расстояние между точками не сохраняется, и преобразование не является движением.

P.S. А начать надо было с того, что и аннулятор набора форм понимается совершенно специфически. Т.е. это на самом деле не аннулятор.

[bayak]

svv в сообщении #1389849 писал(а):

Кроме того, есть ещё какие-то псевдовращения.

Парные псевдовращения можно представить как последовательность парных вращений и парных растяжений диаметра одного кольца и сжатий диаметра другого. Всё это хорошо видно в матричном представлении линейных векторных полей.

svv в сообщении #1389849 писал(а):

Смотрите, поступательное движение — это движение, верно?

Увы и ах, имелось в виду поступательное движение окружности в обывательском смысле, т.е., что траектория кольца описывается постоянным векторным полем в той плоскости, где оно не лежит.
P.S. Спасибо за понимание и пардон за путаницу в изложении мыслей.

[bayak]

bayak в сообщении #1389853 писал(а):

Кольцо на самом деле не одно, их два. И это вовсе не окружность, как Вы писали тут, теперь это 2-тор.

(извините, но во вставке почему-то высветилось моё имя, а не Ваше)

По сути, все эти вещи легко объединяются в окружности Вилларсо, поэтому, возможно, на самом деле, когда мы говорим об алгебре Ли $sl_2(\mathbb{C})$ вращений окружности в $\mathbb{R}^4$, то речь идёт об окружности Вилларсо на торе, лежащем в $\mathbb{R}^4$.

Я так думаю.

[Someone]

(bayak)

bayak в сообщении #1389943 писал(а):

во вставке почему-то высветилось моё имя

Куда мышкой ткнули, то и высветилось. Там и ссылка на ваше сообщение.