2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Топология слоений
Сообщение23.04.2019, 07:09 


26/04/08
995
Гродно, Беларусь
Хорошо, раз не оценили вы красоту моих примеров, то ответьте, пожалуйста, на простой вопрос. Перед вами система линейных векторных полей, которая порождает алгебру $M_2(\mathbb{C})$ и соответствующую ей алгебру Ли $sl_2(\mathbb{C})$
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\upsilon_1&=x_2\partial x_1 - x_1\partial x_2& \\
\upsilon_2&=x_4\partial x_3 - x_3\partial x_4& \\
\upsilon_3&=x_4\partial x_1 - x_3\partial x_2& \\
\upsilon_4&=x_2\partial x_3 - x_1\partial x_4& \\
\end{array}
\right.$$
Видите ли вы здесь алгебру вращений окружности в $\mathbb{R}^4$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение26.04.2019, 23:18 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков
Не вижу. Поля $v_1$ и $v_2$ соответствуют вращениям, а $v_3$ и $v_4$ — нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 11:42 


26/04/08
995
Гродно, Беларусь
svv, Вы правы, третье и четвёртое поля не соответствуют вращениям. В то же время, если векторные поля рассматривать как касательные к траекториям кольца, то первое и второе поле соответствуют вращениям кольца произвольного диаметра, а третье и четвёртое - поступательным движениям кольца. Конечно, это не произвольные поступательные движения, а только те, которые (как можно увидеть из другого базиса алгебры) получаются при скольжении кольца либо по поверхности 3-сферы евклидова пространства, либо по поверхности гиперсфер пространств с нейтральной метрикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 16:11 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков
Попробую Вас понять. Что я могу представить:
В $\mathbb R^4$ возьмём 3-сферу, например, $x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2=1$. На этой сфере располагаем кольцо. Это, наверное, $S_1$. Кольцо можно 1) смещать по 3-сфере, 2) вращать. При этом вращение может быть в 2-плоскости кольца, тогда оно отображает кольцо в себя. А может эту 2-плоскость менять. Каждому из этих движений можно сопоставить векторное поле или набор базисных полей.

Что мне непонятно:
1) Зачем говорить о кольце, почему не говорить об отображениях (группах отображений) $\mathbb R^4$ на себя?
2) Где здесь поступательные движения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 16:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
svv в сообщении #1389792 писал(а):
Попробую Вас понять.

bayak-то? Его на протяжении десяти лет никто понять не может, и сам он этому не способствует, и сам себя понять не может.

svv в сообщении #1389792 писал(а):
На этой сфере располагаем кольцо. Это, наверное, $S_1$.

Важно уточнить, единичного радиуса или меньше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 19:18 


26/04/08
995
Гродно, Беларусь
svv, следует понимать, что в том базисе алгебры, где рассматриваются движения в евклидовом пространстве и пространствах с нейтральной метрикой, имеют место парные вращения и псевдовращения, и поэтому на самом деле вращать надо не одно кольцо, а сразу два. Впрочем, как сказал Munin, всё это мои домыслы и доверять им не стоит. Однако попробуйте проверить мои слова, вдруг и Вы увидите здесь вращение 2-тора в $\mathbb{R}^4$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 20:05 
Заслуженный участник


23/07/08
8162
Харьков
Приходится сделать вывод, что понимать тут всё следует хитро, не буквально.
Вращение на самом деле не совсем вращение. В группу вращений каким-то образом включаются и поступательные движения. Кроме того, есть ещё какие-то псевдовращения.
Кольцо на самом деле не одно, их два. И это вовсе не окружность, как Вы писали тут, теперь это 2-тор. :-(

Что я сам могу добавить к этому букету? Что Ваше поступательное движение на самом деле тоже не совсем поступательное, и не совсем движение.
Смотрите, поступательное движение — это движение, верно? Движение сохраняет метрику. В таком случае соответствующее векторное поле $v$ должно удовлетворять уравнению Киллинга. В наших прямоугольных координатах, при отсутствии всяких кристоффелей оно сводится к тому, что коэффициенты $c_k$ разложения поля $v$ по базисным полям $\partial_k$ должны удовлетворять уравнению
$\frac{\partial c_i}{\partial x_j}+\frac{\partial c_j}{\partial x_i}=0$
Легко проверить, что первые два Ваших поля удовлетворяют этому уравнению, а третье и четвёртое — нет. Оно и понятно: третье поле, например, смещает точку вдоль $x_1$ тем быстрее, чем больше $x_4$, стало быть, расстояние между точками не сохраняется, и преобразование не является движением.

P.S. А начать надо было с того, что и аннулятор набора форм понимается совершенно специфически. Т.е. это на самом деле не аннулятор.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение27.04.2019, 20:57 


26/04/08
995
Гродно, Беларусь
svv в сообщении #1389849 писал(а):
Кроме того, есть ещё какие-то псевдовращения.

Парные псевдовращения можно представить как последовательность парных вращений и парных растяжений диаметра одного кольца и сжатий диаметра другого. Всё это хорошо видно в матричном представлении линейных векторных полей.
svv в сообщении #1389849 писал(а):
Смотрите, поступательное движение — это движение, верно?
Увы и ах, имелось в виду поступательное движение окружности в обывательском смысле, т.е., что траектория кольца описывается постоянным векторным полем в той плоскости, где оно не лежит.
P.S. Спасибо за понимание и пардон за путаницу в изложении мыслей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение28.04.2019, 09:34 


26/04/08
995
Гродно, Беларусь
bayak в сообщении #1389853 писал(а):
Кольцо на самом деле не одно, их два. И это вовсе не окружность, как Вы писали тут, теперь это 2-тор.

(извините, но во вставке почему-то высветилось моё имя, а не Ваше)

По сути, все эти вещи легко объединяются в окружности Вилларсо, поэтому, возможно, на самом деле, когда мы говорим об алгебре Ли $sl_2(\mathbb{C})$ вращений окружности в $\mathbb{R}^4$, то речь идёт об окружности Вилларсо на торе, лежащем в $\mathbb{R}^4$.

Я так думаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология слоений
Сообщение28.04.2019, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17239
Москва

(bayak)

bayak в сообщении #1389943 писал(а):
во вставке почему-то высветилось моё имя
Куда мышкой ткнули, то и высветилось. Там и ссылка на ваше сообщение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group