В Лемме 3 на стр. 123 Боровков Теория вероятностей 1999 г. сказано:
Если
(по распределению при
), то можно на одном вероятностном пространстве построить случайные величины
такие, что
, при которых
(почти наверное при
).
При условии
(по распределению при
) рассмотрим вероятностное преобразование, когда последовательность случайных величин
, находящихся при различных
в разных вероятностных пространствах переносится в одно вероятностное пространство и получается последовательность случайных величин
при
с сохранением функций распределений у каждого члена
и.т.д. по условиям леммы.
Вопрос заключается в свойствах этого преобразования. Сохраняет ли такое преобразование стационарность последовательности случайных величин в узком и широком смысле, сохраняет ли ограниченность членов последовательности, сохраняет ли характеристики случайных величин (моменты разных порядков), сохраняет ли свойство сильного перемешивания
?
Я думаю, что сохраняет. Попытка доказательства.
Стационарность последовательности случайных величин в узком смысле - это независимость распределения последовательности:
от
. Если исходная последовательность имеет такое свойство, то преобразованная последовательность также имеет данное свойство, так как функции распределения всех членов последовательности остаются неизменными при данном преобразовании.
Стационарность последовательности случайных величин в широком смысле сохраняется при данном преобразовании, что следует из сохранения стационарности в узком смысле.
Ограниченность членов последовательности случайных величин сохраняется, так как в противном случае, если хотя бы один из членов последовательности стал неограниченным, то изменилась бы его функция распределения, что противоречит условиям сохранения всех функций распределения у каждого члена последовательности при данном преобразовании.
Все характеристики случайных величин исходной последовательности сохраняются при данном преобразовании, так как по условию сохраняются все функции распределения, а характеристики вычисляются через функции распределения.
В отношении сильного перемешивания. Если бы при данном преобразовании изменились бы коэффициенты перемешивания случайных величин
, то изменились бы функции распределения случайных величин, что не может быть при данном преобразовании. Поэтому соотношение
также сохраняется.