Свойства вероятностного преобразования

[vicvolf]

В Лемме 3 на стр. 123 Боровков Теория вероятностей 1999 г. сказано:
Если $x_n \to x (F_n \to F)$ (по распределению при $n \to \infty$), то можно на одном вероятностном пространстве построить случайные величины $y_n,y$ такие, что $P(y_n<z)=P(x_n<z)=F_n(z),P(y<z)=P(x<z)=F(z)$, при которых $y_n \to y$ (почти наверное при $n \to \infty$).

При условии $x_n \to x (F_n \to F)$ (по распределению при $n \to \infty$) рассмотрим вероятностное преобразование, когда последовательность случайных величин $x_n$, находящихся при различных $n$ в разных вероятностных пространствах переносится в одно вероятностное пространство и получается последовательность случайных величин $y_n \to y$ при $n \to \infty$ с сохранением функций распределений у каждого члена $P(y_n<z)=P(x_n<z)=F_n(z)$ и.т.д. по условиям леммы.

Вопрос заключается в свойствах этого преобразования. Сохраняет ли такое преобразование стационарность последовательности случайных величин в узком и широком смысле, сохраняет ли ограниченность членов последовательности, сохраняет ли характеристики случайных величин (моменты разных порядков), сохраняет ли свойство сильного перемешивания $\sum_{n=1}^{\infty} {\alpha(n)<\infty}$?

Я думаю, что сохраняет. Попытка доказательства.

Стационарность последовательности случайных величин в узком смысле - это независимость распределения последовательности: $(x_n,x_{n+1},...)$ от $n$. Если исходная последовательность имеет такое свойство, то преобразованная последовательность также имеет данное свойство, так как функции распределения всех членов последовательности остаются неизменными при данном преобразовании.

Стационарность последовательности случайных величин в широком смысле сохраняется при данном преобразовании, что следует из сохранения стационарности в узком смысле.

Ограниченность членов последовательности случайных величин сохраняется, так как в противном случае, если хотя бы один из членов последовательности стал неограниченным, то изменилась бы его функция распределения, что противоречит условиям сохранения всех функций распределения у каждого члена последовательности при данном преобразовании.

Все характеристики случайных величин исходной последовательности сохраняются при данном преобразовании, так как по условию сохраняются все функции распределения, а характеристики вычисляются через функции распределения.

В отношении сильного перемешивания. Если бы при данном преобразовании изменились бы коэффициенты перемешивания случайных величин $\alpha(n)$, то изменились бы функции распределения случайных величин, что не может быть при данном преобразовании. Поэтому соотношение $\sum_{n=1}^{\infty} {\alpha(n)<\infty}$ также сохраняется.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1388933 писал(а):

Стационарность последовательности случайных величин в узком смысле - это независимость распределения последовательности: $(x_n,x_{n+1},...)$ от $n$

А что вообще значит "распределение этой последовательности", если $x_n$ живут в разных пространствах?

И даже если все $x_n$ живут на одном пространстве, совместное распределение сохраняться не обязано. Рассмотрим скажем вероятностное пространство $\{0, 1\}$ с равномерным распределением, и скажем $y_n(\omega) = \frac{1}{2} + (-1)^n \omega$ ($0$ и $1$ чередуются, начинается с $\omega$) и $x_n(\omega) = \omega$. $x_n$ стационарен, $y_n$ нет.

[vicvolf]

mihaild Как я понял, из перечисленного при данном преобразовании сохраняются только ограниченность членов последовательности и характеристики конкретных случайных величин?

[mihaild]

Модель, насколько я понял, такая: есть последовательность случайных величин $x_n$, каждая на своем пространстве, есть величина $x$, тоже на своем, и есть $y_n$ и $y$ на одном пространстве, такие что $x_n$ и $y_n$ распределены одинаково, $x_n \to x$ по распределению, $y_n \to y$ почти наверное. Так?
Если да, то в чем вопрос? Какие функции от $x_n$ гарантировано совпадают с соответствующими функциями от $y_n$? Ну например из не упомянутых вами - $P(x_3 < 0) \cdot P(x_7 > 42) = P(y_3 < 0) \cdot P(y_7 > 42)$.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1389384 писал(а):

Модель, насколько я понял, такая: есть последовательность случайных величин $x_n$, каждая на своем пространстве, есть величина $x$, тоже на своем, и есть $y_n$ и $y$ на одном пространстве, такие что $x_n$ и $y_n$ распределены одинаково, $x_n \to x$ по распределению, $y_n \to y$ почти наверное. Так?

Да, именно так. Но лемма справедлива и для векторных случайных величин.

Цитата:

Если да, то в чем вопрос? Какие функции от $x_n$ гарантировано совпадают с соответствующими функциями от $y_n$?

Да, это в отношении преобразования. Но сама вероятностная модель сложнее. Дело в том, что последовательность случайных величин $x_n:x_n(k)=f(k)$, где $f$ - арифметическая функция.
Теперь допустим, что значения арифметической функции при разных $n$ связаны каким то соотношением для характеристик (допустим для средних значений), тогда и соответствующие случайные величины последовательности $x_n$ связаны между собой таким же соотношением для характеристик (например, $M[x_k x_l]=M[x_k]M[x_l]$), хотя находятся в разных вероятностных пространствах. Вопрос. Сохранятся ли данные соотношения для последовательности $y_n$? Ведь лемма справедлива и для векторных случайных величин.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1389534 писал(а):

Теперь допустим, что значения арифметической функции при разных $n$ связаны каким то соотношением для характеристик (допустим для средних значений), тогда и соответствующие случайные величины последовательности $x_n$ связаны между собой таким же соотношением для характеристик (например, $M[x_k x_l]=M[x_k]M[x_l]$), хотя находятся в разных вероятностных пространствах

А тут вы берете один носитель пространства, но разные меры.
Естественно эти характеристики не обязаны сохраняться. Поскольку начальные члены на сходимость не влияют, от вероятностного пространства для начальных членов требуется только быть способным поддерживать распределение $y_i$ - а это очень слабое требование.

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1389570 писал(а):

Поскольку начальные члены на сходимость не влияют, от вероятностного пространства для начальных членов требуется только быть способным поддерживать распределение $y_i$ - а это очень слабое требование.

А если соотношение асимптотическое, например, $\lim_{n \to \infty} {(M[x_k x_{k+n}]-M[x_k]M[x_{k+n}])}=0$ . Будет ли оно сохраняться?

[mihaild]

Попробуйте сами решить - по модулю уже написанного это тривиально. А в ПРР нужно приводить самостоятельные попытки.

[vicvolf]

Поскольку разные меры, то соотношение не будет сохраняться.

[mihaild]

А поскольку распределения одинаковые - то будет. Извините, это не ответ. Ответом мог бы быть конкретный пример, когда не сохраняются, или общий критерий, что сохраняется, с демонстрацией, что эта функция под него не подходит (я такой критерий лучше чем "сохраняется то что сохраняется" придумать не могу, но это не значит что это невозможно).

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1389584 писал(а):

Попробуйте сами решить - по модулю уже написанного это тривиально.

mihaild в сообщении #1389667 писал(а):

я такой критерий лучше чем "сохраняется то что сохраняется" придумать не могу, но это не значит что это невозможно).

Значит это не тривиально.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1389719 писал(а):

Значит это не тривиально.

А я и не предлагал решать именно этим способом. Я указал два (и возможно есть еще какие-то, которые нельзя к ним отнести), первый из которых простой.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #1389576 писал(а):

$\lim_{n \to \infty} {(M[x_k x_{k+n}]-M[x_k]M[x_{k+n}])}=0$

Это соотношение выполняется для асимптотически независимых арифметических функций $f$,которые рассматривались в одноименной теме, в которой Вы принимали участие.

[mihaild]

vicvolf в сообщении #1389782 писал(а):

в которой Вы принимали участие

Да, бывает что я делаю глупости.

Я правильно понимаю, что разумные вопросы о функциях от распределений у вас пока кончились?

[vicvolf]

mihaild в сообщении #1389667 писал(а):

общий критерий, что сохраняется, с демонстрацией, что эта функция под него не подходит (я такой критерий лучше чем "сохраняется то что сохраняется" придумать не могу, но это не значит что это невозможно).

Я думаю, что выполнять данное преобразование надо с двумерными случайными векторами, которые находятся в разных вероятностных пространствах, численно равными произведению одномерных случайных величин $x_ix_j$, и функции распределения которых сохраняются при данном преобразовании.
В частном случае, при выполнении преобразования случайных последовательностей $x_i$, соответствующих арифметическим функциям $x_i=x_i(k)=f(k)$, где $f$ - арифметическая функция, значение $x_j=1$.
При выполнении данного преобразования различных двумерных соотношений, типа указанного, значение $x_j$ может быть отлично от 1. При сохранении функций распределений, сохраняются и характеристики двумерных случайных величин в данных соотношениях.