Факт из ТФКП

[SiberianSemion]

Вопрос с маленьким подвохом. Вопрос $-$ про термины. Поэтому помещаю в этот раздел форума.

Есть такой факт, который полезен в ТФКП.

Сидоров, Федорюк, Шабунин. Лекции по ТФКП писал(а):

Пусть $D -$ ограниченная односвязная область, $\Gamma -$ граница области $D.$ Если функция $f(z)$ непрерывна в области $D$ вплоть до границы, то интеграл от $f(z)$ по $\Gamma$ можно с любой точностью приблизить интегралом от $f(z)$ по замкнутой ломаной, лежащей в области $D.$

Собственно вопрос: означенный факт относится к топологии, анализу или алгебре? Или ко всем? Или ко двум из названных? И почему? Думаю, содержательность ответов будет меняться в соответствии с пониманием сих разделов математики.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Свободный полёт» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: все-таки сюда.

[situs]

SiberianSemion,

Интересно, а как Вы понимаете, что это за разделы математики?

[g______d]

SiberianSemion в сообщении #1388852 писал(а):

Есть такой факт, который полезен в ТФКП.

А он точно полностью сформулирован? Не очень понятно, что имеется в виду под словами «интеграл по границе». Граница односвязной области может быть очень нерегулярна, вообще говоря.

Update: заглянул в книжку. Определение области стандартное (открытое связное подмножество $\mathbb C$), но ниже на той же странице оговорка, что всюду в дальнейшем будут рассматриваться только области с кусочно гладкой границей.

[SiberianSemion]

g______d в сообщении #1388882 писал(а):

А он точно полностью сформулирован?

Помнится, автор писал, что рассматривает только кусочно-гладкие кривые, так что $\Gamma$ можно считать кусочно-гладкой.

situs, я лично понимаю топорно: разделяю анализ на вещественный, он же ТФДП (который изучает пространства с мерами) и "обычный" (вся остальная математика). Подробнее напишу, если кто-то укажет свой ответ.

[ewert]

В ТФКП вопросами хорошести границ вообще не принято заморачиваться, и заклинания про кусочную гладкость произносятся лишь для приличия. Фактически же в любой теореме подразумевается: "Предположим, что кривая настолько хороша, насколько нам это понадобится. Тогда..."

Это с одной стороны. Но, с другой, интеграл от непрерывной функции имеет смысл и для негладких кривых -- для любых спрямляемых. И для них утверждение теоремы тоже верно.

Тут странная ситуация. Можно предположить, почему народ предпочитает рассматривать гладкие случаи -- видимо, боится упереться в нетривиальные именно топологические вопросы. Типа теоремы Жордана о контуре, делящем плоскость на две компоненты. Но она ведь даже и для гладких контуров далеко не тривиальна.

[SiberianSemion]

Я думал, тема уже канула в Лету

ewert в сообщении #1390230 писал(а):

Тут странная ситуация. Можно предположить, почему народ предпочитает рассматривать гладкие случаи -- видимо, боится упереться в нетривиальные именно топологические вопросы. Типа теоремы Жордана о контуре, делящем плоскость на две компоненты. Но она ведь даже и для гладких контуров далеко не тривиальна.

Ситуация, действительно, странная. Обычный интеграл по контуру, лежащему внутри области, легко приблизить интегралами по ломаным. Это элементарно, и есть в каждой вводной книжке по ТФКП. А тут надо расшевелить контур, чтобы он оказался внутри области, что совсем нетривиально.

Да, здесь топология, несомненно, очень важна. Сейчас мне даже кажется, что факт существенно топологический. При попытках его доказательства у меня даже были флэшбеки с доказательством критерия Нагаты-Смирнова. Там тоже есть зрительно похожая конструкция, когда надо разрезать края окрестностей.

До этого я вообще подумал, что факт теоретико-мерный. Но оказалось, что я криво рассуждал, и это было заблуждением.