Вопрос по теореме Нётер для урчп

[VanD]

Доброго времени суток! Уважаемые участники, у меня возник вопрос, ответа на который я пока не смог найти и прошу вашей помощи.
Сам вопрос коротко можно сформулировать так: можно ли с помощью теоремы Нётер получить из точечной симметрии урчп закон сохранения какого-нибудь высокого порядка?

Поясню всё подробнее. Пусть у нас есть функция Лагранжа $L$, зависящая от независимых переменных $x^1,\dots, x^n$, зависимых переменных $u^1,\dots, u^m$ и производных вплоть до некоторого конечного порядка. Тогда для получения законов сохранения соответствующей системы уравнений Эйлера-Лагранжа $E(L) = 0$ можно использовать теорему Нётер.

(Оффтоп)

Сначала придётся ввести некоторые удобные обозначения. Положим

$$ D_{ke_i} = D_{x^i}^k,\quad k\in\mathbb{N}\cup\{0\},\quad D_{x^i}(u^j) = u^j_{e_i}\,, $$

то есть при $k > 0$ это $k$ раз применённый $D_{x^i}$, а при $k = 0$ тождественный оператор. Пусть теперь $\alpha$ -- мультииндекс, то есть

$$ \alpha = \alpha^1e_1 + \dots + \alpha^ne_n,\quad \alpha^i\in \mathbb{N}\cup \{0\}, \quad |\alpha| = \alpha^1 + \dots + \alpha^n\,, $$

тогда положим

$$ D_{\alpha} = D_{x^1}^{\alpha^1}\circ\dots\circ D_{x^n}^{\alpha^n},\quad D_{\alpha}(u^j) = u^j_{\alpha}\,. $$

Пусть $X$ -- симметрия (точечная, контактная или высшая) рассматриваемой системы уравнений Эйлера-Лагранжа $E(L) = 0$,

$$ X = \xi^i\dfrac{\partial \ }{\partial x^i} + \eta^j\dfrac{\partial \ }{\partial u^j} + \dots\,. $$

Пусть при этом существует вектор-функция $(T^1,\dots, T^n)$ (от независимых, зависимых переменных и их производных до некоторого конечного порядка), такая что

$$ X(L) + LD_{x^i}(\xi^i) = D_{x^i}(T^i)\,, $$

тогда симметрия $X$ называется дивергентной. Согласно теореме Нётер (в редакции Ибрагимова?) каждой дивергентной симметрии соответствует закон сохранения

(Оффтоп)

$$ D_{x^i}(T^i - L\xi^i - P^i)\,, $$

где

$$ P^i = D_{\alpha}(\eta^j - \xi^k u^j_{e_k})(-1)^{|\beta|}D_{\beta}\Bigl(\dfrac{\partial L}{\partial u^j_{\alpha + \beta + e_i}}\Bigr)\,, $$

причём обратное тоже верно.

А теперь сам вопрос: например, я могу к компонентам при $\partial_{x^i}, \partial_{u^j}$ произвольной точечной симметрии $Y$ добавить какие угодно функции, которые на рассматриваемой системе равны нулю. Затем могу перепродолжить изменённое поле $Y$ по формулам продолжения. При этом я получу высшую симметрию $Y_1$, эквивалентную $Y$. Может ли при этом быть так, что точечная симметрия $Y$ была не дивергентной, а $Y_1$ оказалась дивергентной и, соответственно, породила закон сохранения какого-нибудь высокого порядка?

В теории я вроде не нашёл никаких препятствий для этого, но может они всё-таки есть? Или их нет и, например, такие ситуации встречаются на практике?

[пианист]

VanD в сообщении #1388785 писал(а):

При этом я получу высшую симметрию $Y_1$, эквивалентную $Y$.

В смысле "эквивалентную"? Вы же вносите изменения _за_ пределами учп. А на учп это не эквивалентная, а та же самая.

[VanD]

пианист в сообщении #1388805 писал(а):

В смысле "эквивалентную"? Вы же вносите изменения _за_ пределами учп. А на учп это не эквивалентная, а та же самая.

Согласен, для системы это та же симметрия.

Вопрос возник из следующих соображений: в статьях по этой теме часто ищут сначала симметрии исходной системы $E(L) = 0$, а потом уже среди них проводят отбор на конкурсной основе в симметрии лагранжиана. При этом под симметриями системы, например, понимают точечные.

Вопрос о том, как организован конкурс. То есть, там как правило условие дивергентности проверяют в лоб, подставляя конкретный вид симметрии

$$ X = \xi^i(x^1, \dots, x^n, u^1, \dots, u^m)\dfrac{\partial \ }{\partial x^i} + \eta^j(x^1, \dots, x^n, u^1, \dots, u^m)\dfrac{\partial \ }{\partial u^j}\,. $$

Далее вопрос о существовании законов сохранения высших порядков никак не обсуждается, но сразу делается вывод, что если для именно такого вида $X$ не нашлось подходящего вектора $T$, то $X$ и не порождает никакой закон сохранения. Но условие-то дивергентности проверяется якобы для симметрий системы, а выполняться в той формулировке должно во всём пространстве.

(Оффтоп)

Технически, я могу проверить его на системе: ограничить лагранжиан на систему, сделать из него элемент горизонтальных $n$-когомологий $[L]$, ограничить симметрию на систему, сделать из неё элемент фактор-алгебры $X_{\varphi}$ и взять производную Ли $X_{\varphi}([L])$. Если оно не будет тривиально, то можно сразу сказать, что действительно, симметрия системы $X$ не порождает закон сохранения. Как бы я элементы $X_{\varphi}$ не продолжал с системы до симметрий всего пространства, конкурс им не пройти. Только так в статьях по этой теме (почти?) никто не делает.

Ну и вопрос в том, справедливо ли говорить при так организованном конкурсе, что объективно симметрия $X$ системы $E(L) = 0$ не порождает никакой закон сохранения, если не прошла?

Мы знаем, что между алгебрами симметрий лагранжиана и соответствующей системы есть эпиморфизм, но ведь никто не обещал, что при этом каждой высшей симметрии лагранжиана (в описанном выше смысле $X(L) + LDiv \xi = Div T$) соответствует именно высшая симметрия системы $E(L) = 0$, которая на системе не совпадает с какой-нибудь точечной.

[VanD]

VanD в сообщении #1388836 писал(а):

Мы знаем, что между алгебрами симметрий лагранжиана и соответствующей системы есть эпиморфизм.

Он, конечно, не эпи, а моно.

[пианист]

Да, Вы правы, на первый взгляд выглядит так, как если бы изменение поля за пределами уравнений ЭЛ было способно повлиять на то, будет ли симметрия дивергентной (это, по ходу, устоявшийся термин? и, BTW, насколько оно геометрично?).
А Вы не пробовали на каком-нибудь примере не-дивергентной симметрии уравнений ЭЛ, переделать ее в дивергентную? Я бы именно с этого начал ;) но как-то нет под рукой годного примерчика..

(Оффтоп)

Извиняюсь за невежество, не просветите: что такое горизонтальные $n$-когомологии $[L]$?

[VanD]

пианист в сообщении #1388925 писал(а):

это, по ходу, устоявшийся термин?

Я думаю, что более-менее да, в статьях по этой теме он употребляется, хотя и аккуратно, не сам по себе, а каждый раз переопределяется в каждой статье так.

(Оффтоп)

То, что я дальше напишу про горизонтальные когомологии, есть, например, в книге "Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики" под редакцией Виноградова и Красильщика.

Сначала рассматриваемая система уравнений бесконечно продолжается (всеми дифференциальными следствиями). На неё ограничиваются все внешние дифференциальные формы $\omega$, такие что в каждой точке пространства выполнено $\omega|_{<D_{x^1}, \dots, D_{x^n}>} = 0$ (тут $<\dots>$ -- линейная оболочка). Далее такие формы называются вертикальными. Например, если говорить про вертикальные дифференциальные 1-формы на системе, то в координатах они раскладываются по ограничениям на систему форм вида

$$ \omega^j_{\alpha} = du^j_{\alpha} - u^j_{\alpha + e_i} dx^i\,. $$

Вертикальные формы образуют дифференциально-замкнутый идеал в алгебре всех форм на системе, элементы фактора по нему называют горизонтальными формами. В координатах у каждой горизонтальной формы есть ровно один представитель, разложенный по внешним произведениям дифференциалов независимых переменных $x^1,\dots, x^n$, так что в координатах можно обозначать соответствующую горизонтальную форму так же, как и такого её представителя.

Обычный внешний дифференциал $d$ индуцирует дифференциал на горизонтальных формах $d_h$, получается комплекс, у которого можно посчитать когомологии.

Какие у этого есть преимущества? Например, так абсолютно бесплатно получается утверждение о том, что законы сохранения -- это внутренний инвариант системы, они естественным образом отождествляются с элементами $n-1$ горизонтальных когомологий. В самом деле, в координатах классическая дивергентная форма $D_{x^i}(T^i)$ отождествляется с горизонтальным дифференциалом формы $(-1)^{i + 1}T_idx^1\wedge\dots\wedge\overline{dx^i}\wedge\dots dx^n$, $T_i = T^i$, тогда сам нетривиальный закон сохранения и есть нетривиальный элемент горизонтальных когомологий

$$ [(-1)^{i + 1}T_idx^1\wedge\dots\wedge\overline{dx^i}\wedge\dots dx^n]\,. $$

Кроме того, теперь понятно, как ведут себя законы сохранения при отображениях систем (в том числе необратимых, т.н. дифференциальных накрытиях).

При этом лагранжиан $L dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ можно превратить в его горизонтальный когомологический класс, то есть форму $L dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$, рассматриваемую на системе с точностью до прибавления произвольной вертикальной $n$-формы и с точностью до прибавления произвольной точной $n$-формы (точной в обычном смысле).

пианист в сообщении #1388925 писал(а):

насколько оно геометрично?

Оно геометрично по следующим причинам. Можно считать, что всё пространство и есть одна система, тривиальная (например, $ \{ 0 = 0 \} $). Каждую симметрию $X$ всего пространства можно рассмотреть с точностью до прибавления полей вида $\xi^iD_{x^i}$ (при этом в координатах у симметрии $[X]$ появится единственный эволюционный представитель вида $X_{\varphi} = D_{\alpha}(\varphi^j)\partial_{u^j_{\alpha}}$) и заставить действовать на горизонтальных когомологиях всего пространства с помощью производной Ли

$$ [X]([L]) = [d i_X_{\varphi} (Ldx^1\wedge\dots\wedge dx^n) + i_X_{\varphi} d (Ldx^1\wedge\dots\wedge dx^n)] $$

(представителей из $[X]$ и $[L]$ в правой части можно брать любых, но с $X_{\varphi}$ и $Ldx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ работать удобнее всего).

(Оффтоп)

В координатах, кстати, оно тогда выглядит совсем просто

$$ [X]([L]) = [\nabla_{X_{\varphi}}(L) dx^1\wedge\dots\wedge dx^n] $$

Тогда требование дивергентности -- это требование, чтобы $[X]([L]) = [0]$, то есть вполне себе инвариантное.

Но это в случае, если мы говорим об $X$, как о симметрии всего пространства, а не рассматриваемой системы уравнений.

пианист в сообщении #1388925 писал(а):

А Вы не пробовали на каком-нибудь примере не-дивергентной симметрии уравнений ЭЛ, переделать ее в дивергентную?

Понятно, что можно дивергентную так превратить в недивергентную, но в другую сторону я содержательного примера пока не нашёл. Я и перебрал-то пару штук всего, но так вслепую искать морально тяжело, вот написал сюда

[пианист]

VanD в сообщении #1388962 писал(а):

Понятно, что можно дивергентную так превратить в недивергентную, но в другую сторону я содержательного примера пока не нашёл. Я и перебрал-то пару штук всего, но так вслепую искать морально тяжело, вот написал сюда

Ну я и что "испортить" можно, пока не до конца понял ;)
А то, что Вы перебрали - нельзя сделать из недивергентной дивергентную, или не удалось разобраться?
Я так просто совсем не "чувствую", о чем речь, т.к. такие штуки никогда не делал.
Будет свободное время, погляжу, но не знаю, когда удастся. Может кто-то еще подтянется к теме?

(Оффтоп)

Я правильно понимаю: горизонтальные когомологии это же самые Де Рама, но с поправкой на то, что $u$ и производные зависят от $x$?

[VanD]

пианист в сообщении #1389027 писал(а):

Ну я и что "испортить" можно, пока не до конца понял ;)

Пусть $L = \dfrac{u_x^2}{2}$, тогда $E(L) = -u_{xx}$, то есть исходное уравнение будет

$$ u_{xx} = 0\,. $$

Возьмём симметрии

$$ Y = u_x\partial_u + u_{xx}\partial_{u_x} + \dots\,, \qquad Y_1 = (u_x + u_{xx})\partial_u + (u_{xx} + u_{xxx})\partial_{u_x} + \dots\,, $$

тогда

$$ \nabla_{Y}(L) = u_xu_{xx}\,,\qquad \nabla_{Y_1}(L) = u_xu_{xx} + u_{x}u_{xxx}\,, $$

то есть среди них дивергентная только $Y$, а мы испортили её до недивергентной $Y_1$.

пианист в сообщении #1389027 писал(а):

А то, что Вы перебрали - нельзя сделать из недивергентной дивергентную, или не удалось разобраться?

На самом деле похоже не удалось разобраться, как организовать такой процесс . Условие, которое я описывал выше, как достаточное, чтобы говорить о невозможности такого для симметрии системы, не может быть выполнено никогда. Внутри системы всегда $[X]([L]) = [0]$.

(Оффтоп)

пианист в сообщении #1389027 писал(а):

Я правильно понимаю: горизонтальные когомологии это же самые Де Рама, но с поправкой на то, что $u$ и производные зависят от $x$?

В общем-то да, но для горизонтальных форм, видимо, перестаёт работать критерий "замкнута тогда и только тогда, когда локально точна", что бы здесь не значило "локально". Ну и могут быть ещё нюансы, сходу не вспомню.