Про положительный корень

[Pphantom]

Brukvalub в сообщении #1388126 писал(а):

что лишне в задаче на применение теорем анализа.

Для этого надо знать, что это задача на применение теорем матанализа, а из условия это никоим образом не следует.

[wrest]

Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):

И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака,

Так у вас же не отрезок.

[Charlz_Klug]

wrest в сообщении #1388150 писал(а):

Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):

И следствие: если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака,

Так у вас же не отрезок.

Да, у меня промежуток.

[wrest]

Charlz_Klug в сообщении #1388241 писал(а):

Да, у меня промежуток.

Бесконечный. У вашего промежутка $x \in [0,+ \infty)$ нет второго конца. Теорема Больцано-Коши ищет ноль дихотомическим поиском, разделяя начальный отрезок на два, потом ту половину где ноль - ещё на два и т.п. Но если у промежутка есть только один конец, а второго конца нет, то нельзя сделать первый шаг -- разделить промежуток напополам.

[thething]

wrest в сообщении #1388246 писал(а):

Теорема Больцано-Коши ищет ноль дихотомическим поиском

Эм, необязательно так. Хотя то, что на отрезке, конечно, существенно. Ну так это легко поправить)
Charlz_Klug
Наведите строгости.

[Charlz_Klug]

thething в сообщении #1388247 писал(а):

Хотя то, что на отрезке, конечно, существенно. Ну так это легко поправить)
Charlz_Klug
Наведите строгости.

Поскольку мы уже знаем, что функция $f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c$ стремится к плюс бесконечности при $x$ стремящейся к плюс бесконечности, то у функции $f(x)$ существует бесконечно много значений больших нуля. Остаётся только выбрать любое из этих значений и применить теорему Больцано-Коши. Годится такая поправка или ещё что-то нужно?

[iifat]

Charlz_Klug в сообщении #1388084 писал(а):

И следствие

Буквоедства ради: посмотрел несколько формулировок теоремы. Да, $[0;+\infty[$ можно считать интервалом, но два значения разных знаков таки нужно указать. Так что стоило б добавить, что коли уж функция стремится к $+\infty$, где-то она станет положительной.

[Someone]

Можно ведь конструктивно указать значение $x_1>0$, для которого $f(x_1)>0$. Например, что-нибудь типа $x_1=\lvert a\rvert+\lvert b\rvert+\lvert c\rvert+1$.

[iifat]

Someone в сообщении #1388657 писал(а):

Можно

Нужно! И да, разумеется, ничего тут сложного нет.

[nnosipov]

Charlz_Klug в сообщении #1388642 писал(а):

Годится такая поправка или ещё что-то нужно?

Да годится, конечно. Вся эта ловля блох, естественно, подразумевалась. У Вас была только одна серьезная ошибка (про область значений), а это все мелочи, которые нормальным студентом должны проговариваться автоматически, по первой просьбе преподавателя.

[wrest]

iifat в сообщении #1388652 писал(а):

Буквоедства ради: посмотрел несколько формулировок теоремы. Да, $[0;+\infty[$ можно считать интервалом, но два значения разных знаков таки нужно указать. Так что стоило б добавить, что коли уж функция стремится к $+\infty$, где-то она станет положительной.

А можно ли тогда дополнить теорему? Ну типа если предел в плюс бесконечности существует и не ноль, то...
Рассуждения "раз на бесконечности предел положительный, то найдутся и положительные значения функции" выглядят подозрительно.

[iifat]

wrest в сообщении #1388672 писал(а):

можно ли тогда дополнить теорему?

Разумеется. Но это уже не будет теорема Больцано-Коши

wrest в сообщении #1388672 писал(а):

выглядят подозрительно

Эээ... Стесняюсь спросить, что именно благородному дону кажется подозрительным? Это ж в чистом виде пределение предела! Неконструктивно — да, ну дык, ежли этим заморачиваться, Someone дал вполне, как понимаю, конструктивное значение. Да, такой вариант лучше ещё и тем, что не подгружает теорию пределов. Ну и вообще лучше.

[wrest]

iifat в сообщении #1388677 писал(а):

ежли этим заморачиваться, Someone дал вполне, как понимаю, конструктивное значение.

Да, к Someone вопросов нет, я в общем-то тоже хотел предложить ТС-у предъявить положительную точку вместо рукомахательных заявлений о том, что она есть. Но там была конкретная функция.

Я просто посмотрел пару учебников по матану (Фихтенгольца, в частности), и в них где-то рядом с теоремой Больцано-Коши написано "отсюда очевидно следует что у полиномов нечетных степеней есть по крайней мере один вещественный корень". Но очевидность не разъясняется, т.е. тут просто есть небольшой пробельчик, куда могут ускакивать блохи. Глянул книжку "контрпримеры в матане", но там, правда, ничего такого не нашел.

-- 20.04.2019, 11:57 --

iifat в сообщении #1388677 писал(а):

Да, такой вариант лучше ещё и тем, что не подгружает теорию пределов.

А чтобы сделать вывод не зная что за функция, а зная только что она непрерывна и предел на плюс бесконечности существует и неотрицательный, теорию пределов подгружать придётся. Имхо, задача из первого поста именно для этого.

[thething]

wrest в сообщении #1388679 писал(а):

где-то рядом с теоремой Больцано-Коши написано "отсюда очевидно следует что у полиномов нечетных степеней есть по крайней мере один вещественный корень". Но очевидность не разъясняется, т.е. тут просто есть небольшой пробельчик, куда могут ускакивать блохи.

Нет тут пробельчика. Полином нечетной степени на минус бесконечности стремится к минус бесконечности, а на плюс бесконечности -- к плюс бесконечности (ну или наоборот, зависит от знака старшего коэффициента). Следовательно найдётся такой отрезок, на концах которого функция будет иметь разные знаки.

[nnosipov]

wrest в сообщении #1388679 писал(а):

Но очевидность не разъясняется

Если разъяснять всякую банальность, никаких книг не хватит.