Сложности в изучении комбинаторики(совсем в отчаянии)

[wrest]

romzes200677 в сообщении #1388453 писал(а):

А вот этот вопрос я немного не понял. Имеется в виду однозначными цифрами в каждой корзине ?

Имеется в виду, например, следующее. Пусть мы пронумеровали корзины цифрами, а шары - цветами. Допустим у нас три шара: синий, зеленый и красный.
Тогда запись 555 будет означать что все три шара мы поместили в пятую корзину. Запись 555 будет означать то же самое.

Можно договориться, что мы не раскрашиваем цифры, но тогда в записи XYZ первая цифра X -- это номер корзины, в котором лежит первый шар, вторая цифра Y -- номер корзины в которой лежит второй шар, а третья цифра Z -- номер корзины в которой лежит третий шар. Тогда запись XYZ=697 будет означать что первый шар положили в 6-ю корзину, второй шар положили в 9-ю корзину а третий шар положили в 7-ю корзину.

[Otta]

romzes200677 в сообщении #1388453 писал(а):

1 шар фиксируем в первой корзине , 2 фиксируем во 2-й, 3-й шар располагаем в 8 корзинах , 2-й шар у нас 9 вариантов , 1-й шар - 10 вариантов .Соответственно 3 шара разместить по 10 корзинами $10\cdot9\cdot8=720$.Далее т.к у нас шаров в корзине может быть 1,2,3 то добавляем вариант 2 шара в первой корзине и один шар во 2-й. Соответственно 2-шар можно расположить 9 вариантами , а первые 2 шара можно расположить 10 вариантами $10\cdot9=90$ , но у нас еще шары пронумерованы значит 2 внутри корзины можно менять местами $C_3^2=3 способами$ Итого получается $90\cdot3=270$.Далее у нас остается 10 вариантов когда все три шара в каждой корзине. Итого $720+270+10=1000$

Хорошо, что шаров у Вас мало. Да и корзин не слишком много.
Длинными путями ходите.
Первый шар можно положить куда попало - 10 способов.
Второй шар - куда попало - 10 способов.
Способов положить третий шар тоже 10.
На каждый способ для первого шара приходится сто раскладок второго и третьего.
Итого $1000= 10\cdot 10\cdot 10$

[romzes200677]

Otta
Спасибо за подсказку .

wrest
Так вы мне подсказку даете ? Получается закодировать можно

[wrest]

romzes200677 в сообщении #1388458 писал(а):

Так вы мне подсказку даете ? Получается закодировать можно

Я вам прямо писал на позапрошлой странице:

wrest в сообщении #1388411 писал(а):

ВСЕ различные варианты можно закодировать как $XY$, $X$ номер корзины где первый шар, $Y$ - номер корзины где второй. Номера корзин идут от 0 до 9 (всего 10 корзин).

Просто добавил третий шар, теперь вместо XY у нас XYZ

[romzes200677]

wrest

wrest в сообщении #1388459 писал(а):

ВСЕ различные варианты можно закодировать как $XY$, $X$ номер корзины где первый шар, $Y$ - номер корзины где второй.

Просто я это не понял тогда , в тот момент на меня много критики упало и я растерялся. Сейчас понял

[Yadryara]

Otta в сообщении #1388456 писал(а):

Итого $1000= 10\cdot 10\cdot 10$

Совершенно верно. Именно на это я и намекал.

wrest в сообщении #1388455 писал(а):

Можно договориться, что мы не раскрашиваем цифры, но тогда в записи XYZ первая цифра X -- это номер корзины, в котором лежит первый шар, вторая цифра Y -- номер корзины в которой лежит второй шар, а третья цифра Z -- номер корзины в которой лежит третий шар. Тогда запись XYZ=697 будет означать что первый шар положили в 6-ю корзину, второй шар положили в 9-ю корзину а третий шар положили в 7-ю корзину.

Совершенно верно. Именно на это я и намекал.

Жаль, что такие намёки порой проходят мимо romzes200677, ну да ничего страшного.

Попробую подытожить. Итак у нас $10^3$ способов разложить 3 шара по 10-ти корзинам. Каждому способу соответствует ровно одно трёхзначное число от $000$ до $999$ включительно.

А если нам надо $n$ шаров разложить по $m$ корзинам, то можем ли мы это сделать $m^n$ способами и записать их все с помощью $n$-значного числа в $m$-ичной системе счисления?

[romzes200677]

Yadryara
По идее можем это сделать

[Yadryara]

Ну что же, тогда посчитайте, пожалуйста, вариант "г" — 7 шаров, 3 корзины, не менее одного шара в каждой корзине. Вам может пригодиться вот этот способ:

romzes200677 в сообщении #1388453 писал(а):

Итого $720+270+10=1000$

[Yadryara]

romzes200677, рассуждая аналогично, можем ли мы подсчитать сколько всего способов разложить 7 шаров по 3-м корзинам, а затем вычесть неподходящие нам по условию способы с пустыми корзинами?

[romzes200677]

Yadryara
После того сколько я шишек себе набил за время решения , мне теперь вообще любые цифры писать боязно.Я понял одно ,на тройку с натяжкой у меня получается решать перебором, остальное не получается вообще.
Другого решения не придумал.
Рассуждаю так всего у нас вариантов $3^7=2187$ Из этих вариантов нужно вычесть количество вариантов когда 1 корзина пустая и количество вариантов когда 2 корзины пустые.

Когда одна корзина пустая получается комбинация 1 шар в первой корзине 6 шаров во второй таких способов 7 ,далее 2 шара в первой корзине 5 шаров во второй таких способов 21 .Итого формула $C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6=126$ . К тому же у нас корзины разные значит нужно умножить все это на $3! = 6$ Итого $126\cdot 6=756$

Добавляем 3 варианта когда 2 корзины пустые.Получается всего вариантов 759.

Результат получается $2187-759=1428$

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1388629 писал(а):

Рассуждаю так всего у нас вариантов $3^7=2187$ Из этих вариантов нужно вычесть количество вариантов когда 1 корзина пустая и количество вариантов когда 2 корзины пустые.

Здесь пока верно. У нас есть $2187$ способов и мы можем записать их все с помощью 7-значных чисел в троичной системе счисления: от $0000000$ до $2222222$. Корзины пронумерованы цифрами $0$, $1$ и $2$.

romzes200677 в сообщении #1388629 писал(а):

Добавляем 3 варианта когда 2 корзины пустые.

И здесь верно. Добавляем к вычитаемому, то есть попросту вычитаем 3 варианта: $0000000$, $1111111$ и $2222222$.

romzes200677 в сообщении #1388629 писал(а):

Итого формула $C_7^1+C_7^2+C_7^3+C_7^4+C_7^5+C_7^6=126$ .

И это верно, хотя и длинновато. Ошибка чуть дальше.

[Munin]

romzes200677 в сообщении #1388629 писал(а):

Я понял одно ,на тройку с натяжкой у меня получается решать перебором, остальное не получается вообще.

А вы не решайте перебором. Вы придумывайте процедуру перебора, универсальную для любых значений параметров.

[Yadryara]

romzes200677, неужто остановитесь за шаг до финиша?

romzes200677 в сообщении #1388629 писал(а):

К тому же у нас корзины разные значит нужно умножить все это на $3! = 6$

Почему на $3!$ ?

[romzes200677]

Yadryara
Конечно же нет , сдаваться ни в коем случае не буду , сдаваться это не про меня . У меня тут просто дела появились важные пришлось отвлечься . Чуть попозже(вечером) я напишу ответ, я уже немного подумал про $3!$ и понял что там что-то не так .Я еще поразмыслю и постараюсь исправить ошибку и сказать верный ответ .

[romzes200677]

Yadryara
Подумал я. Но к сожаление идей не пришло опровергнуть предположение.

Если рассмотреть раскладку в 1 корзине шар номер 1 , во второй корзине остальные 6 шаров, 3 корзина пустая -1 вариант 1222222.
Значит у нас для пустой 3 корзины есть еще один вариант раскладки 2111111, т.к порядок корзин важен .
Далее 2 варианта для 2 пустой корзины 1333333,3111111, и 2 варианта для 1 пусто корзины 2333333,3222222. Вот получил $3! =6$ вариантов раскладки 1ш+6ш .

Даже идей нет на счет ошибки.