Тензор упругости

[feedinglight]

Доброго времени суток!

Закон Гука можно записать в прямом и обратном виде:

$\sigma_i_j=\lambda\delta_i_j(\varepsilon_1_1+\varepsilon_2_2+\varepsilon_3_3)+\mu(\varepsilon_i_j +\varepsilon_j_i)$,

$\sigma_i_j=\sum\limits_{k=1}^{3}\sum\limits_{l=1}^{3}C_i_j_k_l\varepsilon_k_l$,

$\varepsilon_i_j=\frac{1}{E}(\frac{1+\nu}{2}(\sigma_i_j+\sigma_j_i)-\nu\delta_i_j(\sigma_1_1+\sigma_2_2+\sigma_3_3))$,

$\varepsilon_i_j=\sum\limits_{k=1}^{3}\sum\limits_{l=1}^{3}A_i_j_k_l\sigma_k_l$,

откуда очевидно

$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+\mu(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)$,
$A_i_j_k_l=\frac{1}{E}(\frac{1+\nu}{2}(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)-\nu\delta_i_j \delta_k_l)$,

но это не совпадает с [Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела: учебное пособие. – Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988., страница 240]

Странно, вроде норм челик же, ну что за ошибки? Сам же пишет что симметричный тензор должен получаться все дела но тут такое... Может что-то путаю?

адд. имею в виду изотропный случай
адд2. У Работнова такое:
$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+2\mu\delta_i_k\delta_j_l$,
адд3. Волчков (mmf.nsu.ru/sites/default/files/volchkov-solids-2016-2017.pdf) так же сделал, видимо просто списал у Работнова xD
Но мне нужен просто правильный ответ, пусть списывают друг у друга... Вроде у меня правильный, не?( трудно понять, может подводные камни...

[Red_Herring]

 Очевидно, что то что написано у Р. (согласно вашему сообщению) не симметрично относительно $k,l$. Т.ч, ваш ответ правильный

[feedinglight]

Спасибо за ответ. Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете(. Может кому ещё пригодятся эти формулы. Будте бдительны, господа инженеры!)))

[Red_Herring]

feedinglight в сообщении #1388094 писал(а):

Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете

Нет не понимаю. Я знавал кучу инженеров, которые прекрасно знали св-ва тензора упругости

[feedinglight]

Red_Herring в сообщении #1388102 писал(а):

feedinglight в сообщении #1388094 писал(а):

Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете

Нет не понимаю. Я знавал кучу инженеров, которые прекрасно знали св-ва тензора упругости

Ну тогда простите пожалуйста, я из тех, которые верят авторитетным источникам, и которые проверяют только если численная схема не работает. Ну типа кто-то же уже вывел какие-то формулы, от которых я могу отталкиваться. Иначе в чём смысл науки? Вечно проверять результаты предшественников? Это совсем не то, хотя, к сожалению, в реальности приходиться проверять. Это всё из разряда философии.

В любом случае, в данном вопросе вроде как разобрались, большое вам спасибо ещё раз.

Адд. Ой, я совсем не то пишу, вы же писали о другом, соре.

[optimist]

Если тензор $\boldsymbol{\varepsilon}$ симметричный, то без разницы

$$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+\mu(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)$$

или

$$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+2\mu\delta_i_k\delta_j_l$$

,

$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C}:\boldsymbol{\varepsilon}$$

даст тот же результат. Но если заявлена симметрия $C_{ijkl}$ по $k,l$, то, конечно, ваш результат единственно правильный.

[feedinglight]

Результат то понятно что тот же самый, с учётом симметрии.. просто был некоторый ступор когда не совсем правильные выражения смотрел, просто хотелось уточнить.. Спасибо за подтверждение.

адд. не симметрии, не то написал, короче, в смысле правильного ответа, ну понятно что там двойная компонента вывозит вместо двух половинок и результат правильный получается. Но если нужно точное значение тензора (по каким-то причинам), то тут уже ошибки попрут может быть.

[Red_Herring]

optimist в сообщении #1388112 писал(а):

Но если заявлена симметрия

По определению есть симметрия (хотя бы для того, чтобы избегнуть неоднозначности).

[Munin]

optimist в сообщении #1388112 писал(а):

Если тензор $\boldsymbol{\varepsilon}$ симметричный

А он, конечно же, симметричный:

https://ru.wikipedia.org/wiki/Тензор_деформации

Цитата:

$\varepsilon_{ij} = \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{\partial u_i} {\partial x_j } + \dfrac{\partial u_j} {\partial x_i } + \sum\limits_l \dfrac{\partial u_l} {\partial x_i }\dfrac{\partial u_l} {\partial x_j } \right)$

feedinglight
Как вы собираетесь антисимметрическую часть $\varepsilon_{ij}$ наблюдать? "Точное значение тензора", дефинированного с точностью до ненаблюдаемой составляющей, - абсурд.

[feedinglight]

Munin в сообщении #1388120 писал(а):

Как вы собираетесь антисимметрическую часть $\varepsilon_{ij}$ наблюдать? "Точное значение тензора", дефинированного с точностью до ненаблюдаемой составляющей, - абсурд.

Сейчас делаю термо-упругость ([Колесников К. С., Александров Д. А., Асташев В. К. Машиностроение. Энциклопедия. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. Т. 1-3. Кн. 1 //М.: Машиностроение. – 1994. – Т. 1., стр. 228]) - антисимметрическая часть не влияет. Может ли вообще на что-то влиять антисимметричная часть - трудно представить, хотя в литературе мельком, вроде бы, что-то такое встречал - разные там варианты материалов и определяющих соотношений.

Хотелось точно определить компоненты тензора, которым оперирую - чтобы было .

Вообще, упругий потенциал может не существовать, тогда на малом шаге нагружения тензор упругости (точнее, тензор определяющих соотношений) может быть, если не ошибаюсь, каким угодно, но это совсем экзотические случаи...

[Munin]

feedinglight в сообщении #1388134 писал(а):

Может ли вообще на что-то влиять антисимметричная часть - трудно представить, хотя в литературе мельком, вроде бы, что-то такое встречал

Поверьте, не может просто по определению. Физика у нас такая. Тьфу, даже не физика. Пространство у нас такое. Риманово.

feedinglight в сообщении #1388134 писал(а):

Хотелось точно определить компоненты тензора, которым оперирую - чтобы было :roll: .

Существует довольно много величин, которые определить точно нельзя. Например, энергия с точностью до слагаемого, или система координат достаточно произвольна.

[feedinglight]

Принято. Прошарю тензорную арифметику и всякое такое (всё равно надо), затем вернусь к этому вопросу )

Действительно. Понял, наконец, на счёт симметрии, благодарю!

[feedinglight]

(Оффтоп)

Подытожу для себя. В общем, просто условились считать тензор упругости симметричными, для удобства. Чтобы через потенциал его записывать
$C_i_j_k_l=\frac{\partial^2U}{\partial\varepsilon_i_j\partial\varepsilon_k_l}$,
безболезненно переходить к матричной форме $[\boldsymbol{\sigma}]=[\boldsymbol{C}][\boldsymbol{\varepsilon}]$ и обратно. В первую очередь, как отметили выше, для однозначности.
Но у Работного тоже как бы правильный вариант, можно считать.

[Munin]

В общем, да. Из-за симметричности тензора деформации его формула даёт те же ответы.
Аналогичный пример: если $f(x)$ чётная, то одно и то же число можно считать двумя способами: $\int\limits_{-a}^a f\,dx=2\int\limits_0^a f\,dx.$