2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 17:22 


16/04/19
161
Доброго времени суток!

Закон Гука можно записать в прямом и обратном виде:

$\sigma_i_j=\lambda\delta_i_j(\varepsilon_1_1+\varepsilon_2_2+\varepsilon_3_3)+\mu(\varepsilon_i_j +\varepsilon_j_i)$,

$\sigma_i_j=\sum\limits_{k=1}^{3}\sum\limits_{l=1}^{3}C_i_j_k_l\varepsilon_k_l$,

$\varepsilon_i_j=\frac{1}{E}(\frac{1+\nu}{2}(\sigma_i_j+\sigma_j_i)-\nu\delta_i_j(\sigma_1_1+\sigma_2_2+\sigma_3_3))$,

$\varepsilon_i_j=\sum\limits_{k=1}^{3}\sum\limits_{l=1}^{3}A_i_j_k_l\sigma_k_l$,

откуда очевидно

$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+\mu(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)$,
$A_i_j_k_l=\frac{1}{E}(\frac{1+\nu}{2}(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)-\nu\delta_i_j \delta_k_l)$,

но это не совпадает с [Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела: учебное пособие. – Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988., страница 240]

Странно, вроде норм челик же, ну что за ошибки? Сам же пишет что симметричный тензор должен получаться все дела но тут такое... Может что-то путаю?

адд. имею в виду изотропный случай
адд2. У Работнова такое:
$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+2\mu\delta_i_k\delta_j_l$,
адд3. Волчков (mmf.nsu.ru/sites/default/files/volchkov-solids-2016-2017.pdf) так же сделал, видимо просто списал у Работнова xD
Но мне нужен просто правильный ответ, пусть списывают друг у друга... Вроде у меня правильный, не?( трудно понять, может подводные камни...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
 Очевидно, что то что написано у Р. (согласно вашему сообщению) не симметрично относительно $k,l$. Т.ч, ваш ответ правильный

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 18:10 


16/04/19
161
Спасибо за ответ. Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете(. Может кому ещё пригодятся эти формулы. Будте бдительны, господа инженеры!)))

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 18:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
feedinglight в сообщении #1388094 писал(а):
Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете
Нет не понимаю. Я знавал кучу инженеров, которые прекрасно знали св-ва тензора упругости

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 18:45 


16/04/19
161
Red_Herring в сообщении #1388102 писал(а):
feedinglight в сообщении #1388094 писал(а):
Для инженеров трудно понять что-либо, сами понимаете
Нет не понимаю. Я знавал кучу инженеров, которые прекрасно знали св-ва тензора упругости

Ну тогда простите пожалуйста, я из тех, которые верят авторитетным источникам, и которые проверяют только если численная схема не работает. Ну типа кто-то же уже вывел какие-то формулы, от которых я могу отталкиваться. Иначе в чём смысл науки? Вечно проверять результаты предшественников? Это совсем не то, хотя, к сожалению, в реальности приходиться проверять. Это всё из разряда философии.

В любом случае, в данном вопросе вроде как разобрались, большое вам спасибо ещё раз.

Адд. Ой, я совсем не то пишу, вы же писали о другом, соре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 18:50 


27/10/17
56
Если тензор $\boldsymbol{\varepsilon}$ симметричный, то без разницы
$$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+\mu(\delta_i_k \delta_j_l+\delta_i_l \delta_j_k)$$
или
$$C_i_j_k_l=\lambda\delta_i_j \delta_k_l+2\mu\delta_i_k\delta_j_l$$
,
$$\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{C}:\boldsymbol{\varepsilon}$$
даст тот же результат. Но если заявлена симметрия $C_{ijkl}$ по $k,l$, то, конечно, ваш результат единственно правильный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 18:56 


16/04/19
161
Результат то понятно что тот же самый, с учётом симметрии.. просто был некоторый ступор когда не совсем правильные выражения смотрел, просто хотелось уточнить.. Спасибо за подтверждение.

адд. не симметрии, не то написал, короче, в смысле правильного ответа, ну понятно что там двойная компонента вывозит вместо двух половинок и результат правильный получается. Но если нужно точное значение тензора (по каким-то причинам), то тут уже ошибки попрут может быть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 19:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
11018
Hogtown
optimist в сообщении #1388112 писал(а):
Но если заявлена симметрия

По определению есть симметрия (хотя бы для того, чтобы избегнуть неоднозначности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
optimist в сообщении #1388112 писал(а):
Если тензор $\boldsymbol{\varepsilon}$ симметричный

А он, конечно же, симметричный:

feedinglight
Как вы собираетесь антисимметрическую часть $\varepsilon_{ij}$ наблюдать? "Точное значение тензора", дефинированного с точностью до ненаблюдаемой составляющей, - абсурд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 20:46 


16/04/19
161
Munin в сообщении #1388120 писал(а):
Как вы собираетесь антисимметрическую часть $\varepsilon_{ij}$ наблюдать? "Точное значение тензора", дефинированного с точностью до ненаблюдаемой составляющей, - абсурд.

Сейчас делаю термо-упругость ([Колесников К. С., Александров Д. А., Асташев В. К. Машиностроение. Энциклопедия. Динамика и прочность машин. Теория механизмов и машин. Т. 1-3. Кн. 1 //М.: Машиностроение. – 1994. – Т. 1., стр. 228]) - антисимметрическая часть не влияет. Может ли вообще на что-то влиять антисимметричная часть - трудно представить, хотя в литературе мельком, вроде бы, что-то такое встречал - разные там варианты материалов и определяющих соотношений.

Хотелось точно определить компоненты тензора, которым оперирую - чтобы было :roll: .

Вообще, упругий потенциал может не существовать, тогда на малом шаге нагружения тензор упругости (точнее, тензор определяющих соотношений) может быть, если не ошибаюсь, каким угодно, но это совсем экзотические случаи...

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 21:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
feedinglight в сообщении #1388134 писал(а):
Может ли вообще на что-то влиять антисимметричная часть - трудно представить, хотя в литературе мельком, вроде бы, что-то такое встречал

Поверьте, не может просто по определению. Физика у нас такая. Тьфу, даже не физика. Пространство у нас такое. Риманово.

feedinglight в сообщении #1388134 писал(а):
Хотелось точно определить компоненты тензора, которым оперирую - чтобы было :roll: .

Существует довольно много величин, которые определить точно нельзя. Например, энергия с точностью до слагаемого, или система координат достаточно произвольна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение16.04.2019, 21:22 


16/04/19
161
Принято. Прошарю тензорную арифметику и всякое такое (всё равно надо), затем вернусь к этому вопросу )

Действительно. Понял, наконец, на счёт симметрии, благодарю!

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение17.04.2019, 05:41 


16/04/19
161

(Оффтоп)

Подытожу для себя. В общем, просто условились считать тензор упругости симметричными, для удобства. Чтобы через потенциал его записывать
$C_i_j_k_l=\frac{\partial^2U}{\partial\varepsilon_i_j\partial\varepsilon_k_l}$,
безболезненно переходить к матричной форме $[\boldsymbol{\sigma}]=[\boldsymbol{C}][\boldsymbol{\varepsilon}]$ и обратно. В первую очередь, как отметили выше, для однозначности.
Но у Работного тоже как бы правильный вариант, можно считать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тензор упругости
Сообщение17.04.2019, 14:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
В общем, да. Из-за симметричности тензора деформации его формула даёт те же ответы.
Аналогичный пример: если $f(x)$ чётная, то одно и то же число можно считать двумя способами: $\int\limits_{-a}^a f\,dx=2\int\limits_0^a f\,dx.$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group