2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Функциональный анализ: локальный оператор на отрезке
Сообщение15.04.2019, 03:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5915
Пусть $A\colon L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ -- ограниченный линейный оператор (определённый на всём пространстве, разумеется), обладающий следующим свойством:
$$
|\{x\in [0,1]\colon f(x)=0,\,(Af)(x)\neq 0\}|=0,\quad \forall f\in L^2[0,1],
$$
где $|\cdot|$ обозначает меру Лебега. Другими словами, $A$ не увеличивает "носитель" функции (который определён с точностью до множеств нулевой меры, как и сами функции).

Докажите, что любой такой оператор является оператором умножения: $(Af)(x)=\alpha(x)f(x)$, где $\alpha(x)\in L^{\infty}[0,1]$ (последнее пространство тоже по отношению к мере Лебега, функция, вообще говоря, комплекснозначна).

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный анализ: локальный оператор на отрезке
Сообщение15.04.2019, 16:08 
Заслуженный участник


13/12/05
4038
Пусть $\alpha=A1$. Для любого $[a,b]\subset [0,1]$ имеем $1=1_{[0,a]}+1_{[a,b]}+1_{[b,1]}$, где $1_S$ -- характеристическая функция множества $S$. Следовательно, $\alpha=A{1_{[0,a]}}+A1_{[a,b]}+A1_{[b,1]}$. Так как носители функций в левой части по условию не пересекаются, то $\alpha|_{[a,b]}=A1_{[a,b]}$. То есть, $A1_{[a,b]}=\alpha\cdot 1_{[a,b]}$. Значит, $A\varphi=\alpha\cdot \varphi$ для любой ступенчатой функции $\varphi$ (являющейся конечной линейной комбинацией характеристических функций интервалов). А такие функции плотны в $L^2[0,1]$. Поэтому, во-первых, $\alpha$ должна быть ограничена (иначе можно найти последовательность ступенчатых функций $\varphi_n$ с $\|\varphi_n\|=1$ такую, что $\|\alpha\cdot\varphi_n\|\to\infty$ (*)), а во-вторых $Af=\alpha\cdot f$ для любой $f\in L^2[0,1]$ (т.к. два непрерывных оператора совпадают на всюду плотном множестве).

(*) Надо бы это поаккуратней расписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный анализ: локальный оператор на отрезке
Сообщение15.04.2019, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5915
Padawan, хорошее решение. У меня было намного более мудрёное.

Padawan в сообщении #1387847 писал(а):
(*) Надо бы это поаккуратней расписать.


Теоретически да, но это уже детали. Например: пусть $E_N=\{x\colon |\alpha(x)|>N\}$. Возьмём у него точку плотности и последовательность уменьшающихся отрезков с центрами в этой точке.

 Профиль  
                  
 
 Re: Функциональный анализ: локальный оператор на отрезке
Сообщение16.04.2019, 05:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
9094
Кентакска волост
Padawan в сообщении #1387847 писал(а):
То есть, $A1_{[a,b]}=\alpha\cdot 1_{[a,b]}$. Значит, $A\varphi=\alpha\cdot \varphi$ для любой ступенчатой функции $\varphi$ (являющейся конечной линейной комбинацией характеристических функций интервалов).
Красивое решение, спасибо.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group