Функциональный анализ: локальный оператор на отрезке

[g______d]

Пусть $A\colon L^2[0,1]\to L^2[0,1]$ -- ограниченный линейный оператор (определённый на всём пространстве, разумеется), обладающий следующим свойством:

$$ |\{x\in [0,1]\colon f(x)=0,\,(Af)(x)\neq 0\}|=0,\quad \forall f\in L^2[0,1], $$

где $|\cdot|$ обозначает меру Лебега. Другими словами, $A$ не увеличивает "носитель" функции (который определён с точностью до множеств нулевой меры, как и сами функции).

Докажите, что любой такой оператор является оператором умножения: $(Af)(x)=\alpha(x)f(x)$, где $\alpha(x)\in L^{\infty}[0,1]$ (последнее пространство тоже по отношению к мере Лебега, функция, вообще говоря, комплекснозначна).

[Padawan]

Пусть $\alpha=A1$. Для любого $[a,b]\subset [0,1]$ имеем $1=1_{[0,a]}+1_{[a,b]}+1_{[b,1]}$, где $1_S$ -- характеристическая функция множества $S$. Следовательно, $\alpha=A{1_{[0,a]}}+A1_{[a,b]}+A1_{[b,1]}$. Так как носители функций в левой части по условию не пересекаются, то $\alpha|_{[a,b]}=A1_{[a,b]}$. То есть, $A1_{[a,b]}=\alpha\cdot 1_{[a,b]}$. Значит, $A\varphi=\alpha\cdot \varphi$ для любой ступенчатой функции $\varphi$ (являющейся конечной линейной комбинацией характеристических функций интервалов). А такие функции плотны в $L^2[0,1]$. Поэтому, во-первых, $\alpha$ должна быть ограничена (иначе можно найти последовательность ступенчатых функций $\varphi_n$ с $\|\varphi_n\|=1$ такую, что $\|\alpha\cdot\varphi_n\|\to\infty$ (*)), а во-вторых $Af=\alpha\cdot f$ для любой $f\in L^2[0,1]$ (т.к. два непрерывных оператора совпадают на всюду плотном множестве).

(*) Надо бы это поаккуратней расписать.

[g______d]

Padawan, хорошее решение. У меня было намного более мудрёное.

Padawan в сообщении #1387847 писал(а):

(*) Надо бы это поаккуратней расписать.

Теоретически да, но это уже детали. Например: пусть $E_N=\{x\colon |\alpha(x)|>N\}$. Возьмём у него точку плотности и последовательность уменьшающихся отрезков с центрами в этой точке.

[Dan B-Yallay]

Padawan в сообщении #1387847 писал(а):

То есть, $A1_{[a,b]}=\alpha\cdot 1_{[a,b]}$. Значит, $A\varphi=\alpha\cdot \varphi$ для любой ступенчатой функции $\varphi$ (являющейся конечной линейной комбинацией характеристических функций интервалов).

Красивое решение, спасибо.