Свободные колебания и собственная частота

[Elmeh]

Alex-Yu в сообщении #1387435 писал(а):

Ну а дальнейший набор ваших слов мне комментировать не досуг.

Извините, ни в коем случае не обязывал Вас отвечать мне, тем более, если Вам не досуг. За ответ на мой простой вопрос благодарю.

[LMA]

Пусть $f$ - решение линейного дифференциального уравнения $L(f)=0$.
Из линейности следует, что $2f$ (колебание с удвоенной амплитудой) тоже будет решением этого уравнения: $L(2f) = 2L(f) = 0$.
Т.е. амплитуда в два раза больше, а частота такая же.

[Elmeh]

Alex-Yu в сообщении #1387435 писал(а):

А лучше изучите свойства линейных дифференциальных уравнений (и вообще линейных систем).

Благодарю за подсказку, обязательно займусь изучением, точнее уже занялся. Только математический аппарат нужен для описания системы с целью последующего её моделирования и расчёта. А мне интересна была физика происходящего процесса. Например, то, что происходит с системой, когда она на формальном языке математики перестаёт быть "линейной", можно тоже объяснить словами. Тот, кто смог перейти от физического явления к математическим формулам, думаю, в состоянии мне помочь перейти от формул, которые я видел, обратно к физическому явлению. В этом и заключалась просьба о помощи.

[Munin]

Elmeh в сообщении #1387442 писал(а):

Только математический аппарат нужен для описания системы с целью последующего её моделирования и расчёта. А мне интересна была физика происходящего процесса.

Ошибаетесь. Как раз физика и есть математический аппарат.

Рассмотрите простейшую школьную систему: пружинный маятник. Рассчитайте его движение. Обнаружьте для себя тот факт, что независимо от силы начального толчка, колебания происходят с одинаковой частотой. Этот факт физический, но получается из математических свойств системы.

Elmeh в сообщении #1387442 писал(а):

Например, то, что происходит с системой, когда она на формальном языке математики перестаёт быть "линейной", можно тоже объяснить словами.

Можно, только формально-математическими.

Elmeh в сообщении #1387442 писал(а):

Тот, кто смог перейти от физического явления к математическим формулам, думаю, в состоянии мне помочь перейти от формул, которые я видел, обратно к физическому явлению.

Для этого нужно, чтобы вы читали формулы. Извините, без этого вообще никак.

[Red_Herring]

Стоит иметь в виду, что многие системы имеют несколько, а то и (бесконечно) много собственных частот, и от начального удара зависит, как колебание разложится по собственным колебаниям, но не их частоты.

Цитата:

Он ударил в медный таз
И вскричал: «Кара-барас!»

Поскольку у медного таза имеется целый бесконечный ряд собственных частот, то распределение энергий по частотам зависит, куда и в каком направлении Мойдодыр врежет по тазу.

[Alex-Yu]

Munin в сообщении #1387456 писал(а):

Как раз физика и есть математический аппарат.

Скорее математический аппарат есть язык физики. И на другом языке физика АДЕКВАТНО не выражается. Впрочем, на описательном уровне, без каких-либо "почему", в простых случаях можно и без математики. Что я и предложил: взять грузик, нитку, подвесить и посчитать число колебаний за фиксированный промежуток времени, определяемый обычными бытовыми часами Сделать это при разных начальных толчках. Убедиться, что частота не меняется пока амплитуда не станет достаточно велика. Ничего недоступного на совершенно бытовом уровне. А вот что-то там умозрительно "думать" на этом самом бытовом уровне лучше не надо.

[Elmeh]

Munin в сообщении #1387456 писал(а):

Только математический аппарат нужен для описания системы с целью последующего её моделирования и расчёта. А мне интересна была физика происходящего процесса.
Ошибаетесь...

Видимо, не совсем уж я и ошибаюсь, если Вы тут же мне предложили произвести РАСЧЁТ.

Munin в сообщении #1387456 писал(а):

Для этого нужно, чтобы вы читали формулы. Извините, без этого вообще никак.

Я и просил помочь мне их прочитать. Что значит "прочитать", если не правильно воспринять написанное, в данном случае, на формальном языке математики.

Alex-Yu в сообщении #1387475 писал(а):

Скорее математический аппарат есть язык физики. И на другом языке физика АДЕКВАТНО не выражается

Согласен, но у любого языка есть возможность перевода, в противном случае его никто не поймет.

Неужели Вы никогда не встречали выражение "физический смысл"? Например, определенный интеграл его имеет, а неопределенный нет, во всяком случае пока нет. Поэтому определенный интеграл повсеместно применяется в технике, а неопределенный никому не нужен, кроме заядлого математика. НО, в любом случае, всех благодарю за ответы. Благодаря этой теме ситуация для меня во многом прояснилась. Сколько раз замечал, когда начинаешь формулировать и обсуждать плохо понимаемое, понимание приходит в процессе. "В споре (читай - в здоровой дискуссии) рождается истина".

[Munin]

Elmeh в сообщении #1387775 писал(а):

Я и просил помочь мне их прочитать.

Вы можете прочитать вот эти формулы?

$$\begin{gathered}\ddot{x}+\omega^2 x=0 \\ x=x_A\cos(\omega t+\varphi_0) \\ x(t_0)=x_0,\quad\dot{x}(t_0)=\dot{x}_0\qquad\Rightarrow\qquad\exists\,!\,x_A,\varphi_0,x(t)\end{gathered}$$

В каком месте у вас возникают сложности?

Elmeh в сообщении #1387775 писал(а):

Согласен, но у любого языка есть возможность перевода, в противном случае его никто не поймет.

Это то место, где аналогия с языком не подходит. Язык математики надо изучать самому, чтобы понимать его. Никакого перевода здесь невозможно.

Elmeh в сообщении #1387775 писал(а):

Например, определенный интеграл его имеет, а неопределенный нет. Поэтому определенный интеграл повсеместно применяется в технике, а неопределенный никому не нужен, кроме заядлого математика.

Вы даже не представляете, насколько сильно вы заблуждаетесь.

[Elmeh]

Munin в сообщении #1387776 писал(а):

В каком месте у вас возникают сложности?

Да ни в каком.

Munin в сообщении #1387776 писал(а):

Это то место, где аналогия с языком не подходит. Язык математики надо изучать самому, чтобы понимать его. Никакого перевода здесь невозможно.

Не спорю с этим. Я изучаю. Просто ум ищет аналогии с окружающим его чувственно-познаваемым миром, пытаясь представить то, что написано сухой формулой. Вы мне уже помогли, благодарю (это не сарказм, я не ёрничаю).

Munin в сообщении #1387776 писал(а):

Вы даже не представляете, насколько сильно вы заблуждаетесь.

Не представляю. Напишите, пожалуйста, какой физический смысл у неопределенного интеграла. Это тоже меня очень сильно интересует. Поэтому я и написал: "определенный интеграл его имеет, а неопределенный нет, во всяком случае пока нет". То есть я не знаю способа его применения к решению технических задач.

[yafkin]

Ряды Фурье надо учить.

[EUgeneUS]

Pavia в сообщении #1387422 писал(а):

К примеру возьмём поезд он состоит из вагонов. Их можно представить, в виде точечных масс связанных пружинками. У этой системы есть собственные частоты.
Кто часто ездит в электричке знает, что вагоны с нечётными номерами трясутся, вибрируют. А в чётных тряски нет ехать комфортно. За это как раз и отвечают собственные частоты.

ОМГ!

(на самом деле)

То, что вагоны электрички (старой советской - не помню марки) "трясутся" через один - это известный лайвхак.
В вагонах с пантографом ("рогатые") установлено тяговое электрооборудование, и они не трясутся.
В вагонах без пантографа ("безрогие") установлено пневмооборудование, которое открывает\закрывает двери. Компрессор и ресивер. Вот когда компрессор включается и начинает восстанавливать давление в ресивере, вагон трясется.

-- 15.04.2019, 07:25 --

Elmeh в сообщении #1387779 писал(а):

Просто ум ищет аналогии с окружающим его чувственно-познаваемым миром, пытаясь представить то, что написано сухой формулой.

Нужно понимать, что это работает только до некоторой степени. В областях физики, которые не познаются чувственно (СТО, ОТО, квантовая механика, в некоторой степени: электродинамика и термодинамика...) просто нет опыта чувственного познания мира из-за ущербности органов чувств. Но даже в обычной механике часто возникают задачи с контринтуитивными ответами. Просто потому, что рассматриваются движения, которые редко встречаются в быту.
Как только возникают попытки заменить недостаток чувственного опыта каким-то аналогиями - жди беды.

Что касается Вашего примера с шариком на ниточке.
То, что его частота колебаний зависит от амплитуды - это вывод, основанный на опыте с крайними значениями параметра (амплитуды). Так как совершенно понятно: если мячик сильно пнуть, то колебаний не будет, а будет вращение вокруг точки подвеса, чем сильнее пнули, тем быстрее вращается.
Но Вы этот крайний случай, распространяете (в том числе) на другой крайний случай, когда колебания малые. И совершаете ошибку.

В чем Ваша ошибка, и при каких условиях можно считать колебания малыми, а систему линейной с одной собственной частой - это всё наглядно видно при выводе формул.

"Объясните мне физику на словах" - это не физика, а метафизика, псевдонаука.

[Elmeh]

EUgeneUS в сообщении #1387782 писал(а):

Нужно понимать, что это работает только до некоторой степени

Я это понимаю. И тоже хотел написать в своем предыдущем посте про СТО, ОТО и кв. механику, что там такого опыта не существует. Но мячик на нитке, по-моему, это как раз не та степень.

EUgeneUS в сообщении #1387782 писал(а):

"Объясните мне физику на словах" - это не физика, а метафизика, псевдонаука.

Ну почему же. Вы сейчас прекрасно всё объяснили и внесли свой большой вклад в моё понимание. Я же не отказывался от формул совсем.

[EUgeneUS]

Elmeh в сообщении #1387783 писал(а):

Я же не отказывался от формул совсем.

А надо совсем не отказываться

[fred1996]

Математические формулы - это сжатые части речи. Или, выражаясь языком программистов, встроенные подпрограммы. Не стоит их бояться. На самом деле ведь и отдельные слова в речи, и обычные предложения - это тоже подпрограммы.
Можно пользоваться математическими формулами как подпрограммами - черными ящиками. А можно посмотреть исходники. Так делают настоящие ученые. Ну а поработав с исходниками, можно потом "забыть" о них. На какое-то время. Периодически освежая память, например, с помощью преподавания.

[Walker_XXI]

Elmeh в сообщении #1387442 писал(а):

Только математический аппарат нужен для описания системы с целью последующего её моделирования и расчёта. А мне интересна была физика происходящего процесса.

А физика происходящего процесса проста. В положении равновесия на шарик не действуют никакие силы (точнее, равнодействующая равна нулю), и если он неподвижен, то будет неподвижным неограниченно долго. Но если шарик вывести из положения равновесия, возникает возвращающая сила. Однако, вернувшись в положение равновесия под её действием, шарик уже будет иметь ненулевую скорость и проскочит равновесие, отклонившись в другую сторону. И теперь возвращающая сила будет направлена противоположно скорости. И так далее.

Зависимость силы от угла отклонения описывается простой формулой. А ещё можно записать уравнение движения шарика под действием силы в зависимости от времени. Если всё это скомбинировать вместе, то получится дифференциальное уравнение (такое, как выше писал Munin). Перед каждым слагаемым (а слагаемыми будет сама неизвестная функция или её производные по времени (как выяснится, в нашем случае не выше второго порядка)) будет какой-то коэффициент. Физический смысл этих коэффициентов становится понятным, когда найдём решение диффура - функцию, описывающую зависимость координаты от времени. И вот тут выясниться, что решение описывает гармонические колебания, а коэффициент перед слагаемым, представляющим собственно искомую функцию, - это квадрат частоты. И, посмотрев на диффур, на этот коэффициент, увидим, что от начальной амплитуды отклонения (т.е. от силы первоначального толчка) этот коэффициент не зависит. Всё это можно найти в школьном учебнике, где рассматривается вывод уравнения математического маятника.

(О вибрации вагонов электрички)

Pavia в сообщении #1387422 писал(а):

Кто часто ездит в электричке знает, что вагоны с нечётными номерами трясутся, вибрируют. А в чётных тряски нет ехать комфортно. За это как раз и отвечают собственные частоты.

Тут согласен с EUgeneUS: . Кто ездил в электричках и задумывался о том, почему некоторые вагоны трясутся, знает что наличие/отсутствие тряски зависит не от номера вагона, а от наличия/отсутствия токосъёмника на крыше. В вагонах с токосъёмником размещён электропривод, который может гудеть, но вагон не трясёт. А в вагонах без токосъёмника вместо электроприводов размещены пневматические компрессоры, которые обслуживают пневмотормоза и пневмоприводы дверей. И вот эти компрессоры обычно работают с шумом, грохотом и сильной тряской. Собственные частоты вагонов эта история слабо иллюстрирует.