Ширяев, Вероятность, Гл.1, §7

[ihq.pl]

Всем привет. Речь о возможной опечатке в книге. А может не вижу ошибку у себя. Большая просьба помочь увидеть:)

Рассматривается схема Бернулли, выражаемая тройкой $\{\Omega, \mathcal{A}, P \}$, где $\Omega=\{\omega: \omega=(x_1,...,x_n), x_i=0,1\}$ - пространство элементарных событий; вероятность элементарного события определяется выражением

$$p(\omega) = \theta^{\sum x_i}(1-\theta)^{1-\sum x_i}, \quad 0 < \theta < 1. $$

Пусть на $\Omega$ задана случайная величина

$$T_n(\omega)=\frac{b_1x_1(\omega)+...+b_nx_n(\omega)}{n}, \quad b_1+...+b_n=1.$$

В книге Ширяева "Вероятность" (1980) утверждается, что математическое ожидание

$$M T_n=\theta,$$

а у меня получается $\theta/n$. Считал следующим образом

$$MT_n = \sum \limits_{\omega \in \Omega} p(\omega)T_n(\omega) = \frac{1}{n}\sum \limits_{\omega \in \Omega} p(\omega)\sum\limits_{k=1}^n b_kx_k(\omega)=$$ $$=\frac{1}{n}\sum \limits_{m=0}^n \sum \limits_{\{\omega: \sum x_i=m\}} p(\omega)\sum\limits_{k=1}^n b_kx_k(\omega) =\frac{1}{n}\sum \limits_{m=0}^n \theta^m(1-\theta)^{n-m}C(n,m), \qquad \qquad (1)$$

где

$$C(n,m) = \sum \limits_{\{\omega: \sum x_i=m\}} \sum\limits_{k=1}^n b_kx_k(\omega).$$

$\sum x_i=0$ только когда все $x_i=0$. Поэтому $C(n,0)=0$, и значит

$$MT_n =\frac{1}{n}\sum \limits_{m=1}^n \theta^m(1-\theta)^{n-m}C(n,m),$$

где

$$C(n,m) =\sum\limits_{k=1}^n b_k\sum \limits_{\{\omega: \sum x_i=m\}} x_k(\omega) =\sum\limits_{k=1}^n b_k N\left\{\omega: \sum_{i \ne k}x_i=m-1\right\} =\sum\limits_{k=1}^n b_k C_{n-1}^{m-1}= C_{n-1}^{m-1}. \qquad (2)$$

Если это верно, то

$$MT_n =\frac{1}{n}\sum \limits_{m=1}^n C_{n-1}^{m-1}\theta^m(1-\theta)^{n-m} =\frac{\theta}{n}\sum \limits_{m=0}^{n-1} C_{n-1}^{m}\theta^m(1-\theta)^{n-1-m} = \frac{\theta}{n} \qquad \qquad(3)$$

[Slav-27]

Да, опечатка там. Давайте возьмём $b_1=1,b_2=...=b_n=0$: у $\xi_1(x):=x_1$ какое матожидание? $\theta$.

-- 13.04.2019, 00:47 --

И у вас опечатка:

ihq.pl в сообщении #1387359 писал(а):

$$p(\omega) = \theta^{\sum x_i}(1-\theta)^{1-\sum x_i}, \quad 0 < \theta < 1. $$

[ihq.pl]

да, по пути домой резко дошло, что там опечатка)) Только я в качестве примера взял $b_1=...=b_n=1/n$. Тогда $\sum b_k x_k=S_n/n$ - случайная величина с биномиальным распределением. И у меня тоже опечатка: вместо единицы должно быть $n$. Спасибо!

[ihq.pl]

В задаче 1, §7 речь об оценке вероятности успеха в схеме Бернулли, описанной в стартовом посте.
Задача точно звучит так: Пусть a priori известно, что параметр $\theta$ принимает значения в $[\theta_1,\theta_2] \subseteq [0,1]$. Выяснить, когда существует несмещенная оценка для параметра $\theta$, принимающая значения лишь в множестве $[\theta_1,\theta_2]$.

Проблема в том, что я вообще не понимаю, что надо выяснять. Ниже всё, на что меня хватило.
Ну, допустим $T_n(x_1,...,x_n)$ принимает значение в $[0,1]$. Например, это может быть $T_n(x_1,...,x_n)=(b_1x_1+...+b_nx_n)/n$ где $b_1+...+b_n=n$. Понятно, что функция $T^\ast_n = \theta_1 + (\theta_2-\theta_1)T_n$ принимает значения в $[\theta_1,\theta_2]$ и

$$MT^\ast_n = \theta_1 + (\theta_2-\theta_1)MT_n$$

[ihq.pl]

кажется, понял.
Жаль, что невозможно удалять свои сообщения