Представление конечных групп

[oniksofers]

Пусть $V,W$ -- конечномерные векторные пространства. $G$ - конечная группа. Если $V,W$ - представления группы $G$, то $Hom(V,W)$ также является представлением. Это достигается тем, что для конечномерных пространств существует изоморфизм между $Hom(V,W)$ и $V^{*}\otimes W $. Далее в учебнике Теория Представлений У.Фултон, Дж.Харрис пишут, что если элемент из $Hom(V,W)$ рассматривать как линейное отображение $\varphi$ из $V$ в $W$, то

$$(g\varphi)(u)=g\varphi(g^{-1}(u)) $$

И это якобы соответствует коммутативности следующей диаграммы:

$$\xymatrix{{V}\ar[d]_{g}\ar[r]^{\varphi}&{W}\ar[d]^{g}\\{V}\ar[r]^{g\varphi}&{W}}$$

Однако коммутативность этой диаграммы влечет равенство:

$$(g\varphi)(u)=g\varphi(g(u))$$

И собственно напрашивается вопрос: это опечатка или я чего-то не понимаю в данной конструкции?

[Someone]

$g\varphi$ действует из нижнего $V$ в нижнее $W$. Чтобы замкнуть диаграмму с другой стороны, нужно последовательно пройти из нижнего левого угла в верхний левый, потом по верхней стороне в верхний правый, потом спуститься по правой стрелке.

[oniksofers]

Someone в сообщении #1387544 писал(а):

Чтобы замкнуть диаграмму с другой стороны

Я не совсем понимаю, что означают эти слова и как они связаны с коммутативности диаграммы. Не могли бы прояснить чуточку подробнее или отослать к какой-нибудь легковесной литературе по этому поводу?

[Slav-27]

oniksofers
Обратите внимание, что вы обозначаете буквой $g$ четыре разных вещи: 1) некий элемент группы, 2) линейный оператор $V\to V$, которым этот элемент действует на $V$, 3) линейный оператор $W\to W$, которым этот элемент действует на $W$, 4) линейный оператор $\mathrm{Hom}(V,W)\to\mathrm{Hom}(V,W)$, которым этот элемент действует на $\mathrm{Hom}(V,W)$. Надо разобраться, где кто, тогда станет понятно.

[Someone]

Грубо говоря, коммутативность диаграммы означает, что, пройдя из одной вершины в другую разными путями, мы получим одно и то же.

А что, в учебнике это разве не объясняется?

[oniksofers]

Someone в сообщении #1387548 писал(а):

Грубо говоря, коммутативность диаграммы означает, что, пройдя из одной вершины в другую разными путями, мы получим одно и то же.

Хорошо, меня просто смутило, что в википедии(прости господи) для квадрата условие коммутативности пишется так как я написал в заглавном посте. Тем не менее прочитав основное определение я вижу, что там пишут, что результат должен быть в независимости от путя.

Someone в сообщении #1387548 писал(а):

А что, в учебнике это разве не объясняется?

Учебник написан с категорных позиций насколько я могу судить, но в начале никакого ликбеза там не проводится. Вероятно сам виноват, что взял такой учебник. Но разбираться так разбираться.

Slav-27 в сообщении #1387547 писал(а):

братите внимание, что вы обозначаете буквой $g$ четыре разных вещи

Я понимаю, что там на линиях должен стоять не $g$, а некоторое $\rho(g)$, где $\rho$ - это гомоморфизм из группы $G$ в $GL(V)$(или что тоже самое в группу автоморфизмов $V$). Проблема как мне теперь кажется была в том, что я довольно плохо понимал, что значит коммутативность диаграммы.

[vpb]

Так-с... Прежде всего, перепишем верхнюю формулу правильно, со всеми скобками, и добавим к ней кванторы:

$$(g(\varphi))(u)=g(\varphi(g^{-1}(u))), \ \ \ \forall \ u\in V.$$

Затем, прокомментируем смысл некоторых скобок и символов.
Нам задано действие группы $G$ на двух пространствах, $U$ и $V$. Мы хотим определить действие $G$ на $\operatorname{Hom}(U,V)$. Для этого надо определить для каждого $g\in G$ и каждого $\varphi\in\operatorname{Hom}(U,V)$ некоторый элемент из $\operatorname{Hom}(U,V)$, обозначаемый $g(\varphi)$, определенным образом.

(По техническим причинам сообщение раздроблено...)

-- 13.04.2019, 21:50 --

Что значит определить тот элемент ? Достаточно для каждого $u\in V$ указать образ $u$ относительно $g(\varphi)$. Ну, вот мы его и указываем нашей формулой... Это вполне однозначно понимаемая формула... или Вам так не кажется ? Если согласны, то ответьте (приведите подробное объяснение, с формулами), почему отображение $g(\varphi)$, определяемое этой формулой --- линейное отображение из $V$ в $W$. А затем, если с этим справились, объясните, тоже с формулами, почему правило $\varphi \mapsto g(\varphi)$ --- линейное преобразование на пространстве $\operatorname{Hom}(U,V)$.

-- 13.04.2019, 22:02 --

Также вот что: если Вы в первый раз в жизни видите представления групп (предполагаю, однако, что нет), то сначала полезно почитать из книжки Кострикина, 3-й том, главу 3 (что поймете).

[vpb]

Кажется, я с предыдущим указанием перемудрил. Впрочем, выполнить его тоже полезно. Докажите следующее: если

$$\xymatrix{ A\ar[r]^\alpha\ar[d]_\beta & B \ar[d]^\gamma \\ C\ar[r]^\delta & D }$$

--- коммутативная диаграмма множеств, причем $\beta$ --- биекция, то диаграмма

$$\xymatrix{ A\ar[r]^\alpha & B \ar[d]^\gamma \\ C\ar[r]^\delta\ar[u]^{\beta^{-1}} & D }$$

тоже коммутативна.

[oniksofers]

vpb в сообщении #1387585 писал(а):

почему отображение $g(\varphi)$, определяемое этой формулой --- линейное отображение из $V$ в $W$.

Вы наверное имели в виду из $U$ в $V$, если следовать вашим обозначениям. Тогда рассмотрим некоторый элемент $u\in U$, применяя $g^{-1}(u)$ мы на самом деле имеем в виду $\rho(g^{-1})(u)$, где $\rho$ - гомоморфизм из $G$ в $GL(U)$. А значит $g^{-1}(u)\in U$. Отображение $\varphi \in \operatorname{Hom}(U,V)$, а значит оно переводит элемент $g^{-1}(u)\in U$ в элемент пространства $V$, т.е $\varphi(g^{-1}(u))\in V$. Подействуем слева на этот элемент $\rho_{2}(g)(\varphi(g^{-1}(u)))$, где $\rho_{2}$ - гомоморфизм из $G$ в $GL(V)$, а значит элемент $g(\varphi(g^{-1}(u))) \in V$. Таким образом отображение заданное как $(g(\varphi))(u)=g(\varphi(g^{-1}(u)))$ является отображение из $U$ в $V$. Покажем теперь, что это линейное отображение: нужно показать, что верно следующее: $(g(\varphi))(u_{1}+u_{2}) = (g(\varphi))(u_{1})+(g(\varphi))(u_{2})$.
Итак рассмотрим $(g(\varphi))(u_{1}+u_{2})= g(\varphi(g^{-1}(u_{1}+u_{2})))$, в силу того, что $\rho(g^{-1})\in GL(V)$ линейное отображение, то: $g(\varphi(g^{-1}(u_{1}+u_{2})))=g(\varphi(g^{-1}(u_{1})+g^{-1}(u_{2})))$. Так как $\varphi$ - гомоморфизм, то $g(\varphi(g^{-1}(u_{1})+g^{-1}(u_{2})))= g(\varphi(g^{-1}(u_{1}))+\varphi(g^{-1}(u_{2})))$
$\rho(g)\in GL(V)$ и окончательно

$$g(\varphi(g^{-1}(u_{1}))+\varphi(g^{-1}(u_{2})))=g(\varphi(g^{-1}(u_{1})))+g(\varphi(g^{-1}(u_{2})))=(g(\varphi))(u_{1})+(g(\varphi))(u_{2})$$

Что доказывает линейность отображения.

vpb в сообщении #1387585 писал(а):

А затем, если с этим справились, объясните, тоже с формулами, почему правило $\varphi \mapsto g(\varphi)$ --- линейное преобразование на пространстве $\operatorname{Hom}(U,V)$.

Требуется показать, что $g(\varphi_{1}+\varphi_{2})=g(\varphi_{1})+g(\varphi_{2})$ для любых $\varphi_{1}\in \operatorname{Hom}(U,V),\varphi_{2}\in \operatorname{Hom}(U,V)$. Итак рассмотрим $g(\varphi_{1}+\varphi_{2})=g((\varphi_{1}+\varphi_{2})(g^{-1}))=g(\varphi_{1}(g^{-1})+\varphi_{2}(g^{-1}))$. Так как $\rho(g)$ - линейное отображение, то получаем:
$g(\varphi_{1}(g^{-1})+\varphi_{2}(g^{-1}))=g(\varphi_{1}(g^{-1}))+g(\varphi_{2}(g^{-1}))$. Это показывает линейность отображения. Хотя больно как то просто получилось.
По поводу диаграммок отвечу позже.

[oniksofers]

Так теперь по поводу диаграмм. Для того, чтобы доказать, что вторая диаграмма коммутативна, надо показать, что

$$\gamma\alpha\beta^{-1}=\delta$$

Однако, из того факта, что первая диаграмма коммутативна следует что:

$$\delta \beta = \gamma \alpha$$

В силу того, что $\beta$ - изоморфизм, домножим справо обе части этого равенства на $\beta^{-1}$. Сделав это получаем:

$$\delta = \gamma\alpha\beta^{-1}$$

Что собственно и требовалось доказать. Значит вторая диаграмма также коммутативная.

[vpb]

oniksofers в сообщении #1387610 писал(а):

Вы наверное имели в виду из $U$ в $V$, если следовать вашим обозначениям.

Да, это я опечатался.

oniksofers в сообщении #1387610 писал(а):

Хотя больно как то просто получилось

Нормально получилось, только букву $u$ забыли в некоторых местах:
$(g(\varphi_1+\varphi_2))(u)=g((\varphi_1+\varphi_2)(g^{-1}(u)))$ и т.д.
С диаграммами всё верно, и даже лучше, чем я ожидал: я имел в виду отображения множеств, а Вы доказали для диаграмм в произвольной категории.

Из утверждения про диаграммы уже, вероятно, видно, в чем дело ... или еще нет ?

В целом, впечатление от Ваших постов очень хорошее.

-- 15.04.2019, 16:17 --

P.S. Про учебник. Я сам его не читал, но это считается хорошая книжка. А сами Фултон и Харрис --- хорошие авторы (я знаю по другим книжкам).

-- 15.04.2019, 16:42 --

Заглянул таки в Фултон-Харриса. По моему впечатлению, что-то они слишком уж быстро берут с места в карьер. Возможно, они уже предполагают у читателя наличие знаний о представлениях групп как таковых, а основной предмет книги --- представления групп Ли.

[oniksofers]

vpb в сообщении #1387863 писал(а):

Из утверждения про диаграммы уже, вероятно, видно, в чем дело ... или еще нет ?

У меня скорее всего некое недопонимание вызванное тем, что я не могу понять мотивировки подобного определения представления для $\operatorname{Hom}(U,V)$. Задам глупый вопрос, что нам мешает определить представление для $\operatorname{Hom}(U,V)$ следующим образом:

$$(g(\varphi))(u)=g(\varphi(g(u)))$$

[vpb]

Формулу для $g(\varphi)$, которая приведена в Фултон-Харрисе, можно переписать как

$$ g(\varphi)= g_W\circ\varphi\circ g_V^{-1},$$

где $\circ$ --- композиция линейных отображений, и $g_V$, $g_W$ --- действия элемента $g$ на соответствующих пространствах. Это действительно представление, в том смысле, что $(gh)(\varphi)=g(h(\varphi))$. Действительно,

$$ (gh)(\varphi) = (gh)_W\circ\varphi\circ(gh)_V^{-1}= g_Wh_W\circ\varphi\circ h_V^{-1}g_V^{-1}= g_W \circ h_W\circ\varphi \circ h_V^{-1}\circ g_V^{-1} = $$

$$ =g_W \circ (h_W\circ\varphi \circ h_V^{-1})\circ g_V^{-1} = g(h(\varphi)).$$

А если определить по формуле $(g(\varphi))(u)=g(\varphi(g(u)))$, то тогда $ g(\varphi)= g_W\circ\varphi\circ g_V$, и правило $(gh)(\varphi)=g(h(\varphi))$ нарушается. (Впрочем, если $G$ абелева, оно по прежнему верно).

[oniksofers]

Да теперь стало намного яснее. Спасибо за помощь!

[vpb]

Пожалуйста. Упомяну еще, напоследок, две классические книги Ч. Кэртис, И Райнер, Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр, а также Дж.Хамфри, Введение в теорию алгебр Ли и их представлений (названия помню не вполне точно). Обе есть на русском. Первая из них, надо сказать, в своих продвинутых главах весьма сложная, и вам (Вы физик, как я понимаю) эти продвинутые места не нужны. Т.е. эта книга вообще ориентирована на специалистов по алгебре.