Приближенное решение уравнения 6-ой степени

[follow_the_sun]

Доброго времени суток. Надо получить формулы приближенного решения в зависимости от коэффициентов:
$b - c + \dfrac{ad}{30} + \dfrac{ax}{120} + \dfrac{cx^2}{2} - \dfrac{dx^2}{2} -\dfrac{cx^4}{24} + \dfrac{dx^4}{3} - \dfrac{dx^6}{36}=0$
Что посоветуете?

[Pphantom]

А решать численно по необходимости нельзя?

[follow_the_sun]

Pphantom
А вообще есть смысл искать приближенную формулу? Сейчас попробую оценить порядок коэффициентов

[Pphantom]

follow_the_sun в сообщении #1386532 писал(а):

А вообще есть смысл искать приближенную формулу?

В общем случае или для каких-то практических целей - по-видимому, нет.

[provincialka]

"Приближенное решение" будет "решением", если мы сможем хоть как-то оценить его погрешность. Потому что я вот скажу, что $x = 3$ -- приближенное решение, и докажите, что я не права.

А для оценки погрешности неплохо бы что-то знать о величине коэффициентов. Ведь недаром они представлены в виде дробей. Или это случайно?

Кроме того, у уравнения 6 степени может быть до 6 корней... какой из них интересует?

[follow_the_sun]

Pphantom

provincialka в сообщении #1386544 писал(а):

для каких-то практических целей

Расчет параметров газа за скачком уплотнения.
provincialka
Знаете, вот это уравнение шестой степени было получено с помощью не совсем корректных преобразований. Задача стоит такая:
$a\dfrac{\sin(x)}{\cos(x+\frac{\pi}{9})}+b-c\cos x-d \sin^2 x=0$
где $ b,c,d \sim10^2; a\sim10$
Я сделал основную тригонометрическую подстановку:
$b - \dfrac{(4 d x^2)}{(1 + x^2)^2}- \dfrac{c}{(1 + x^2)} + \dfrac{c x^2}{(1 + x^2)} + \dfrac{2ax}{((1 + x^2)(1 - (-\delta +x)^2))} +\dfrac{2 a \delta^2 x}{((1 + x^2) (1 - (-\delta + x)^2))} +\dfrac{ 4 a \delta x^2}{((1 + x^2) (1 - (-\delta + x)^2))} + \dfrac{2 a x^3}{(1 + x^2)(1 - (-\delta + x)^2)} $
Где $\delta=\dfrac{\pi}{9}$

[Pphantom]

Тогда точно решайте численно, тут даже банальной дихотомии хватит за глаза.

[Someone]

follow_the_sun в сообщении #1386562 писал(а):

Задача стоит такая:
$a\dfrac{\sin(x)}{\cos(x+\frac{\pi}{9})}+b-c\cos x-d \sin^2 x=0$
где $ b,c,d \sim10^2; a\sim10$
Я сделал основную тригонометрическую подстановку:
$b - \dfrac{(4 d x^2)}{(1 + x^2)^2}- \dfrac{c}{(1 + x^2)} + \dfrac{c x^2}{(1 + x^2)} + \dfrac{2ax}{((1 + x^2)(1 - (-\delta +x)^2))} +\dfrac{2 a \delta^2 x}{((1 + x^2) (1 - (-\delta + x)^2))} +\dfrac{ 4 a \delta x^2}{((1 + x^2) (1 - (-\delta + x)^2))} + \dfrac{2 a x^3}{(1 + x^2)(1 - (-\delta + x)^2)}$
Где $\delta=\dfrac{\pi}{9}$

Что-то здесь явные безобразия творятся. Почему у Вас в обоих уравнениях переменная обозначается одинаково? Так не может быть, если Вы делали замену переменной.
И почему $\delta=\frac{\pi}9$? Я бы ещё понял, если бы было $\delta=\tg\frac{\pi}9$, а в таком виде это выглядит как бред.
И, разумеется, применение формул тангенса суммы, разности или двойного угла сужает область определения.

[amon]

follow_the_sun в сообщении #1386562 писал(а):

$a\dfrac{\sin(x)}{\cos(x+\frac{\pi}{9})}+b-c\cos x-d \sin^2 x=0$
где $ b,c,d \sim10^2; a\sim10$

Я бы поделил все, скажем, на $b$ и получил бы

$$\alpha \sin(x)+\cos(x+\frac{\pi}{9})(1 - \beta\cos x - \gamma\sin^2 x )=0,$$

выделив явно малый параметр. После этого можно попробовать решить это безобразие последовательными приближениями по параметру $\alpha.$

[Евгений Машеров]

Поскольку он малый, я бы начал с приближения $\beta\cos x+\gamma\sin^2 x=\beta\cos x+\gamma(1-\cos^2 x)=\beta y+\gamma-\gamma y^2=1$.
И затем, найдя $x=\arccos y$, уточнял бы Ньютоном...