Обобщённая функция

[StaticZero]

Хотим найти предел

$$ \int \limits_0^\infty \mathrm dt' \ \int \limits_0^\infty \mathrm dt'' \ \exp(ix(t'' - t')) $$

в смысле обобщённых функций. Я пришёл к этому:

$$ \lim \limits_{\varepsilon \to 0+} \int \limits_{-\infty}^\infty} \varphi(x) \ \mathrm dx \int \limits_0^\infty \mathrm dt' \int \limits_{-t'}^{\infty} \mathrm d\tau \ e^{i \tau (x + i \varepsilon)} = i \lim \limits_{\varepsilon \to 0+} \int \limits_{-\infty}^\infty \varphi(x) \ \mathrm dx \int \limits_0^\infty \mathrm dt' \ \frac{e^{-it' (x + i \varepsilon)}}{x + i \varepsilon} $$

В общем, такая регуляризация не прокатывает. Что тут можно ещё попробовать?

[amon]

StaticZero в сообщении #1386375 писал(а):

Хотим найти предел

Видимо, не предел, а интеграл. Вопрос - откуда это чудо у Вас взялось? Вопрос не праздный, поскольку Ваш интеграл - произведение фурье-образов $\theta$-функций, а "канонически" обобщенные функции перемножать нельзя. Мы, физики, по простоте душевной на это иногда плюем, но тогда результат (способ регуляризации) надо как-то угадывать из физических соображений.

[StaticZero]

Гармоническое возмущение, вероятность состояния.

[amon]

StaticZero в сообщении #1386389 писал(а):

Гармоническое возмущение, вероятность состояния.

А чуть подробнее - какое возмущение, какого состояния. Возможно, ответ зарыт в физической постановке задачи.

[StaticZero]

$$ \hat V = \hat U e^{i \omega t} + \hat U^\dagger e^{-i\omega t} $$

Пусть $\Psi(\vc r, t)$ --- решение возмущённого УШ $i \hbar \dot \Psi = (\hat{\mathcal H_0} + \hat V) \Psi$. Разложение по базису стационарных состояний $\psi_k(\mathbf r)$ невозмущенной задачи

$$ \Psi(\mathbf r, t) = \sum \limits_k a_k(t) e^{-iE_k t/\hbar} \psi_k(\mathbf r) $$

и первое приближение даёт

$$ a_f(t) \approx - \frac{i}{\hbar} \left(U_{fi} \int \limits_0^t e^{i (\omega + \omega_{fi}) t'} \ \mathrm dt' + U^\dagger_{if} \int \limits_0^t e^{i (-\omega + \omega_{fi}) t'} \ \mathrm dt'\right) $$

Модуль этого выражения и даёт подобные интегралы при $t \to +\infty$.

[Red_Herring]

Ваш интеграл вульгарно расходится на любых основных функциях, кроме тех, у которых $\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx=0$, а на этих сходится к $0$.

[amon]

StaticZero в сообщении #1386393 писал(а):

$$a_f(t) \approx - \frac{i}{\hbar} \left(U_{fi} \int \limits_0^t e^{i (\omega + \omega_{fi}) t'} \ \mathrm dt' + U^\dagger_{if} \int \limits_0^t e^{i (-\omega + \omega_{fi}) t'} \ \mathrm dt'\right)$$

А интеграл почему от нуля начинается? У Вас получается, что $a_f(0)=0.$ Это действительно так? Вообще, такие задачи обычно формулируют с "адиабатическим" включением взаимодействия: $ \hat V =e^{-\varepsilon|t|} (\hat U e^{i \omega t} + \hat U^\dagger e^{-i\omega t}),$ которое и выдает нужную регуляризацию ответа.

[StaticZero]

amon в сообщении #1386395 писал(а):

У Вас получается, что $a_f(0)=0.$ Это действительно так?

Это начальное условие происходит от того, что возбуждаемая система изначально предполагается в стационарном состоянии $\psi_i$. Так что для $f \ne i$ это действительно так.

amon в сообщении #1386395 писал(а):

А интеграл почему от нуля начинается?

Ну...так выбрали возмущение, что оно включается только в $t = 0$ и продолжается дальше.

-- 07.04.2019 в 12:23 --

amon в сообщении #1386395 писал(а):

такие задачи обычно формулируют с "адиабатическим" включением взаимодействия: $ \hat V =e^{-\varepsilon|t|} (\hat U e^{i \omega t} + \hat U^\dagger e^{-i\omega t}),$ которое и выдает нужную регуляризацию ответа.

Сейчас попробую.

-- 07.04.2019 в 12:49 --

Эта регуляризация приводит меня к интегралу

$$ \int \limits_0^\infty \mathrm dt' \int \limits_0^\infty \mathrm dt'' \ e^{- i x (t'' - t')} e^{-\varepsilon (t' + t'')} $$

$t'' -t' = \tau \in (-t', \infty)$

$$ \ldots = \int \limits_0^\infty e^{-\varepsilon t'} \mathrm dt' \int \limits_{-t'}^\infty \mathrm d \tau \ e^{-ix\tau - \varepsilon (\tau + t')} = \int \limits_0^\infty e^{-2\varepsilon t'} \mathrm dt' \times \frac{e^{t' (ix + \varepsilon)}}{ix + \varepsilon} $$

$$ \ldots = \int \limits_0^\infty \frac{e^{t'(-\varepsilon+ix)}}{ix + \varepsilon} \mathrm dt' = \frac{1}{x^2 + \varepsilon^2} $$

Тогда будет что-то типа такого

$$ \lim \limits_{\varepsilon \to 0+} \int \limits_{-\infty}^\infty \frac{\varphi(x) \ \mathrm dx }{(x - i \varepsilon)(x + i \varepsilon)} = \lim \limits_{\varepsilon \to 0+} 2 i \varepsilon \left(\int \frac{\varphi(x) \ \mathrm dx}{x - i \varepsilon} - \int \frac{\varphi(x) \ \mathrm dx}{x + i \varepsilon}\right) $$

-- 07.04.2019 в 13:02 --

Этот эпсилон мешает формулами Сохоцкого пользоваться, чтоб дельта-функцию получить.

[DeBill]

Red_Herring в сообщении #1386394 писал(а):

интеграл вульгарно расходится на любых основных функциях, кроме тех, у которых $\int_{-\infty}^\infty \phi(x)\,dx=0$, а на этих сходится к $0$.

А у меня получилось, что надо требовать $\phi(0)=0$....

[Red_Herring]

DeBill в сообщении #1386451 писал(а):

А у меня получилось, что надо требовать $\phi(0)=0$....

Вы правы.

[StaticZero]

Вот я пробую следующее. Пусть $\varepsilon > 0$. Замыкать будем контур сверху. Имеем

$$ \oint \limits_\Gamma \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{x^2 + \varepsilon^2} \ \mathrm dx + \varphi(0) \oint \limits_\Gamma \frac{\mathrm dx}{x^2+ \varepsilon^2} = 2 i \pi \operatorname{res} \limits_{x = i \varepsilon} \frac{\varphi(x) - \varphi(0)}{(x+i\varepsilon)(x-i\varepsilon)} + 2 i \pi \operatorname{res} \limits_{x = i \varepsilon} \frac{\varphi(0)}{(x+i\varepsilon)(x-i\varepsilon)}$$

$$ \ldots = 2 i \pi \frac{\varphi(i \varepsilon) - \varphi(0)}{2 i \varepsilon} + \frac{2 i \pi \varphi(0)}{2 i \varepsilon} = \frac{2 i \pi \varphi'(0) i \varepsilon}{2 i \varepsilon} + \frac{\pi \varphi(0)}{\varepsilon}=i \pi \varphi'(0) + \frac{\pi \varphi(0)}{\varepsilon} $$

Если $\varphi(0)=0$, то тогда получается $-i \pi \delta'(x)$. Плохой какой-то ответ, мне не очень нравится...

[amon]

StaticZero в сообщении #1386464 писал(а):

Плохой какой-то ответ

А давайте, прежде чем что-то перемножать, тупо сосчитаем интеграл при конечном $t.$ Получится (если не соврал)

$$ a_{fi}=\frac{1}{\hbar}\left(\frac{U_{fi}}{\omega_{fi}-\omega+i0}-\frac{U_{fi}e^{i(\omega_{fi}-\omega+i0)t}}{\omega_{fi}-\omega+i0}+\frac{U_{fi}^+}{\omega_{fi}+\omega+i0}-\frac{U_{fi}^+e^{i(\omega_{fi}+\omega+i0)t}}{\omega_{fi}+\omega+i0}\right)$$

При $t\to\infty$ экспоненты умрут из-за $i0,$ который $i\varepsilon,\; \varepsilon\to 0,$ и останется нечто удобоваримое, если выкинуть $\delta$-функцию, которая соответствует резонансу, при котором теория возмущений всяко не применима.

[StaticZero]

amon, у меня так получилось:

$$ a_f(t) = \frac{1}{\hbar} \left(U_{fi} \frac{-e^{i (\omega + \omega_{fi} + i 0) t} + 1}{\omega + \omega_{fi} + i 0 }+ U_{if}^\dagger \frac{- e^{i (-\omega + \omega_{fi} + i 0) t} + 1}{-\omega + \omega_{fi} + i 0 } \right) $$

Здесь $0 = 0+$. При $t \to +\infty$

$$ a_f(+\infty) = \frac{1}{\hbar} \left( \frac{U_{fi}}{\omega + \omega_{fi} + i0} + \frac{U_{if}^\dagger}{-\omega + \omega_{fi} + i0}\right) = $$

$$ \ldots = \frac{1}{\hbar} \left(U_{fi} \left[\mathscr P \frac{1}{\omega + \omega_{fi}} - i \pi \delta(\omega + \omega_{fi}) \right] - U_{if}^\dagger \left[\mathscr P\frac{1}{\omega - \omega_{fi}} + i \pi \delta(\omega - \omega_{fi})\right]\right) $$

[amon]

StaticZero в сообщении #1386542 писал(а):

у меня так получилось:

Видимо, совпало. Теперь $\delta$-функцию выкидываем (она не ноль когда знаменатель ноль, а там не работает наше приближение), и смело возводим в квадрат или куда там еще ;)

[StaticZero]

Тогда остаётся

$$ a_f = \frac{1}{\hbar} \left(U_{fi} \ \mathscr P \frac{1}{\omega + \omega_{fi}} + U_{if}^\dagger \ \mathscr P \frac{1}{\omega - \omega_{fi}} \right) $$

Как отсюда модуль получить? Я $\mathscr P \frac{1}{x}$ не умею умножать...
[вырезано уравнение с ошибками]