Число базисов векторного пространства над конечным полем

[starper]

Задача сформулирована так: "Найти число базисов n-мерного векторного пространства над полем из q элементов."
Мои рассуждения такие: Всего в n-мерном векторном пространстве над полем из q элементов $q^n$ векторов. Линейная оболочка 1-мерного подпространства
состоит из q векторов, каждый из которых является базисом. Основываясь на том, что каждый вектор k-мерного подпространства, который не содержится в линейной оболочке (k-1)-мерного подпространства, не выражается линейно через вектора (k-1)-мерного подпространства: двумерное подпростраство имеет $q(q^2-q)$ базисов. N-мерное простраство имеет $q(q^2-q)(q^3-q^2)...(q^n-q^\left\lbrace n-1\right\rbrace$$)$
Но как-то многовато получается. Подскажите, пожалуйста, в чем ошибка?

[DeBill]

starper в сообщении #1385029 писал(а):

Линейная оболочка 1-мерного подпространства
состоит из q векторов, каждый из которых является базисом.

Нет.

starper в сообщении #1385029 писал(а):

двумерное подпростраство имеет $q(q^2-q)$ базисов.

Нет, да.

starper в сообщении #1385029 писал(а):

N-мерное простраство имеет $q(q^2-q)(q^3-q^2)...(q^n-q^\left\lbrace n-1\right\rbrace)$$)$

НЕТ-н-нет нет нет....да

-- 31.03.2019, 16:40 --

А базис - это упорядоченный набор?

[starper]

DeBill в сообщении #1385040 писал(а):

starper в сообщении #1385029 писал(а):

Линейная оболочка 1-мерного подпространства
состоит из q векторов, каждый из которых является базисом.

Нет.

Понял, затупил. Но и базис этого подпространства может быть только с единицей поля тоже необязательно, верно?

Цитата:

А базис - это упорядоченный набор?

Насколько я понял - нет.

[mihaild]

starper в сообщении #1385057 писал(а):

Но и базис этого подпространства может быть только с единицей поля тоже необязательно, верно?

Что это значит? Элементы поля могут вообще не являться элементами векторного пространства.

Так сколько всё-таки базисов в одномерном пространстве получается?

[starper]

mihaild в сообщении #1385058 писал(а):

starper в сообщении #1385057 писал(а):

Но и базис этого подпространства может быть только с единицей поля тоже необязательно, верно?

Что это значит? Элементы поля могут вообще не являться элементами векторного пространства.

Имеется в виду, что если $1e=e$, где 1 - единичный элемент поля, - базисный вектор одномерного пространства, то из аксиом поля, как мне кажется, нельзя опровергнуть, что если вместо единичного элемента поля подставить другой элемент поля, то получившийся вектор
$\lambda$e тоже будет базисом, то есть любой из q векторов можно выразить линейной комбинацией $ a=($\mu$)$\lambda$e $

Цитата:

Так сколько всё-таки базисов в одномерном пространстве получается?

Собственно, по причине, указанной выше, не могу дать ответа на этот вопрос.

[iifat]

starper в сообщении #1385066 писал(а):

вместо единичного элемента поля подставить другой элемент поля

Таки всё ж не любой. Возьмите для начала конкретное поле, скажем, из трёх элементов, и посчитайте.

[mihaild]

starper в сообщении #1385066 писал(а):

то из аксиом поля, как мне кажется, нельзя опровергнуть, что если вместо единичного элемента поля подставить другой элемент поля, то получившийся вектор
$\lambda$e тоже будет базисом

Во-первых, лучше чтобы не путаться, не путать сами векторы с одноэлементными множествами. Базис - это не вектор, а множество векторов.
Пусть $\{v\}$ - базис нашего одномерного пространства. Тогда любой вектор $u$ можно единственным способом представить в виде $xv$, где $x \in \mathcal F$. Аналогично, для любого $x$ у нас есть вектор $xv$, причем если $x \neq y$, то $xv \neq yv$ (почему?).
Таким образом каждому элементу поля у нас сопоставлен вектор. Какому элементу сопоставлены: вектор $v$? нулевой вектор?
При каких $x$ множество $\{xv\}$ будет базисом?

[starper]

iifat в сообщении #1385072 писал(а):

starper в сообщении #1385066 писал(а):

вместо единичного элемента поля подставить другой элемент поля

Таки всё ж не любой. Возьмите для начала конкретное поле, скажем, из трёх элементов, и посчитайте.

Например, поле вычетов $\mathbb{Z}_3$ состоит из $\left\lbrace0,1,2\right\rbrace$. Векторное пространство над этим полем состоит из 3-х векторов: $0, e, 2e$. Одним из 2-х базисов этого пространства является вектор $2e$: $0=0(2e); 1=2(2e); 2=1(2e)$

[mihaild]

Ага. А теперь попробуйте подставить остальные два элемента поля.

[starper]

mihaild в сообщении #1385073 писал(а):

Аналогично, для любого $x$ у нас есть вектор $xv$, причем если $x \neq y$, то $xv \neq yv$ (почему?).

В противном случае, $v$ не являлось бы базисом

Цитата:

Таким образом каждому элементу поля у нас сопоставлен вектор. Какому элементу сопоставлены: вектор $v$?

$x=1$

Цитата:

нулевой вектор?

$x=0$

Цитата:

При каких $x$ множество $\{xv\}$ будет базисом?

Очевидно при $x=1$ множество $\{xv\}$ будет базисом. Об остальных $x$ ничего не могу сказать, к сожалению.

-- 31.03.2019, 19:41 --

mihaild в сообщении #1385110 писал(а):

Ага. А теперь попробуйте подставить остальные два элемента поля.

При $x=1$: $0=0(1e); 1=1(1e); 2=2(1e)$
При $x=0$ можно получить только нулевой вектор

[mihaild]

Лучше обозначайте элементы поля и векторного пространства по-разному, иначе очень легко запутаться.

У нас был вектор $e$, причем $\{e\}$ - базис. Умножили его на $1$, получили $\{e\}$ - базис. Умножили на $2$, получили $\{2e\}$ - базис. Умножили на $0$, получили $\{\vec 0\}$ - не базис. Не замечаете никакой закономерности?

starper в сообщении #1385111 писал(а):

Очевидно при $x=1$ множество $\{xv\}$ будет базисом. Об остальных $x$ ничего не могу сказать, к сожалению.

А вы попробуйте. Может помочь такое полезное свойство: если у нас есть множество векторов, такое, что все вектора какого-то базиса выразимы через него, то это множество векторов полно.

[starper]

mihaild в сообщении #1385114 писал(а):

Не замечаете никакой закономерности?

Спасибо, похоже понял, если $\left\lbrace v\right\rbrace$ базис, то любой вектор вида $\left\lbrace xv\right\rbrace$, где x$\ne$0 тоже базис, так как можно из любого ненулевого элемента $x$ поля получить любой элемент $t$ поля так: $ t=x(x^\left\lbrace-1\right\rbrace)$t, где $x^\left\lbrace-1\right\rbrace$t$ тоже элемент поля

-- 31.03.2019, 20:59 --

Значит, каждый из $q-1 $ базисов одномерного подпространства можно дополнить до базиса двумерного подпространства $q-1$ способами, и получается в n-мерном пространстве над полем из q элементов $(q-1)^n$ базисов, а если считать базис неупорядоченным набором векторов, то $n!(q-1)^n базисов$, верно?

[mihaild]

starper в сообщении #1385121 писал(а):

то любой вектор вида $\left\lbrace xv\right\rbrace$,

Только это не вектор.

starper в сообщении #1385121 писал(а):

Значит, каждый из $q-1 $ базисов одномерного подпространства можно дополнить до базиса двумерного подпространства $q-1$ способами, и получается в n-мерном пространстве над полем из q элементов $(q-1)^n$

А вас не смущает, что у вас базисов меньше чем ненулевых векторов получается?

[starper]

mihaild в сообщении #1385124 писал(а):

starper в сообщении #1385121 писал(а):

то любой вектор вида $\left\lbrace xv\right\rbrace$,

Только это не вектор.

Это линейная комбинация?

Цитата:

А вас не смущает, что у вас базисов меньше чем ненулевых векторов получается?

Не понимаю, в чем противоречие?
Насчет задачи, понял, что ещё нужно рассматривать векторы, которые являются суммами различных векторов из базиса, но там очень много случаев считать надо, искать более простые пути бесполезно?

[mihaild]

starper в сообщении #1385134 писал(а):

Это линейная комбинация?

Это множество векторов.

Да не много там случаев. Давайте для начала с двумерным пространством разберемся. Давайте выбирать вектора по одному (и для простоты пока что упорядоченно). Сколькими способами можно выбрать первый вектор? После того, как мы его выбрали - сколько у нас осталось линейно независимых с уже выбранным векторов?