Множества не содержащие простых чисел

[Andrey A]

venco в сообщении #1163514 писал(а):

Кхм-кхм.
$9^2-6^2=7^2-2^2=45$

Тогда еще так $117^2-108^2=53^2-28^2=45^2.$

Чтобы не повторялись можно попробовать дерево из веточки $\sqrt{1}+\sqrt{2}\approx \sqrt{6}$ и далее суммы соседних и через одну.
Первое раздвоение $\sqrt{1}+\sqrt{6}\approx \sqrt{12};\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx \sqrt{15}.$ Тут, правда, не только простые отсутствуют, но и степени простых и удвоенные степени простых. Составные не все, конечно, присутствуют, но первой парой можно брать любые два соседних числа. Тогда, возможно, все )

[Soul Friend]

Andrey A в сообщении #1385007 писал(а):

но и степени простых и удвоенные степени простых. На счет повторений не уверен, скорее всего они будут.

вот тоже в соседней теме с этим столкнулся

[Andrey A]

Поправился, но Вы уже подхватили. Там несколько иная ситуация, она поддается описанию, если всерьез заняться выращиванием кристаллов.

[Soul Friend]

Andrey A в сообщении #1385007 писал(а):

Тогда еще так $117^2-108^2=53^2-28^2=45^2.$

нет, здесь $gcd(117,108)=9$

[Someone]

Soul Friend в сообщении #1385003 писал(а):

Множество $N$ будет содержать все составные нечётные числа кроме вида $n^2$, и ни одного простого числа :

$$(a^2-b^2)=\left( (a-b)(a+b) \right) \in N $$

где $a>3$ ; $\qquad(a-3)\ge b$ ; $a$ и $b$ противоположной чётности, $a$ и $b$ взаимопросты.

Вам уже написали, но я добавлю очевидную, на мой взгляд, конструкцию, позволяющую получать сколько угодно нечётных квадратов, допускающих сколь угодно много представлений в виде разности квадратов взаимно простых чисел, отличающихся не менее чем на $3$.

Возьмём $N\geqslant 3$ попарно различных нечётных простых чисел, разобьём их на две группы так, чтобы каждая содержала не менее одного числа (последнее условие появилось из-за вашего $a-3\ge b$; число таких разбиений равно $2^{N-1}-1$); для каждой группы вычислим произведение входящих в неё чисел; меньшее произведение обозначим $m$, большее — $n$. Числа $m$ и $n$ оба нечётные, взаимно простые, $m\geqslant 3$.
Теперь найдём $a$ и $b$ из системы

$$\begin{cases}a-b=m^2,\\ a+b=n^2,\end{cases}$$

что даёт

$$\begin{cases}a=\frac{n^2+m^2}2,\\ b=\frac{n^2-m^2}2;\end{cases}$$

число $a$ будет нечётным, $b$ — чётным; $a-b=m^2\geqslant 9$; $a$ и $b$ взаимно простые.
Тогда

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=m^2n^2=(mn)^2.$$

Поскольку произведение $mn$ есть просто произведение всех выбранных простых чисел и не зависит от того, как мы их разбили на две группы, то $(mn)^2$ имеет $2^{N-1}-1$ представлений в виде разности квадратов натуральных чисел, удовлетворяющих всем вашим условиям.

[Andrey A]

Andrey A в сообщении #1385012 писал(а):

нет, здесь $gcd(117,108)=9$

Тогда так $617^2-608^2=233^2-208^2=137^2-88^2=105^2.$ Устраивает?

[Soul Friend]

Someone
спасибо, ваш педагогический опыт заметен.

Andrey A в сообщении #1385022 писал(а):

Тогда так $617^2-608^2=233^2-208^2=137^2-88^2=105^2.$ Устраивает?

да, вполне