2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 11:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
venco в сообщении #1163514 писал(а):
Кхм-кхм.
$9^2-6^2=7^2-2^2=45$

Тогда еще так $117^2-108^2=53^2-28^2=45^2.$

Чтобы не повторялись можно попробовать дерево из веточки $\sqrt{1}+\sqrt{2}\approx \sqrt{6}$ и далее суммы соседних и через одну.
Первое раздвоение $\sqrt{1}+\sqrt{6}\approx \sqrt{12};\sqrt{2}+\sqrt{6}\approx \sqrt{15}.$ Тут, правда, не только простые отсутствуют, но и степени простых и удвоенные степени простых. Составные не все, конечно, присутствуют, но первой парой можно брать любые два соседних числа. Тогда, возможно, все )

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 11:30 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Andrey A в сообщении #1385007 писал(а):
но и степени простых и удвоенные степени простых. На счет повторений не уверен, скорее всего они будут.

вот тоже в соседней теме с этим столкнулся

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 11:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Поправился, но Вы уже подхватили. Там несколько иная ситуация, она поддается описанию, если всерьез заняться выращиванием кристаллов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 11:52 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Andrey A в сообщении #1385007 писал(а):
Тогда еще так $117^2-108^2=53^2-28^2=45^2.$

нет, здесь $gcd(117,108)=9$

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 12:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
Soul Friend в сообщении #1385003 писал(а):
Множество $N$ будет содержать все составные нечётные числа кроме вида $n^2$, и ни одного простого числа :$$(a^2-b^2)=\left( (a-b)(a+b) \right) \in N $$
где $a>3$ ; $\qquad(a-3)\ge b$ ; $a$ и $b$ противоположной чётности, $a$ и $b$ взаимопросты.
Вам уже написали, но я добавлю очевидную, на мой взгляд, конструкцию, позволяющую получать сколько угодно нечётных квадратов, допускающих сколь угодно много представлений в виде разности квадратов взаимно простых чисел, отличающихся не менее чем на $3$.

Возьмём $N\geqslant 3$ попарно различных нечётных простых чисел, разобьём их на две группы так, чтобы каждая содержала не менее одного числа (последнее условие появилось из-за вашего $a-3\ge b$; число таких разбиений равно $2^{N-1}-1$); для каждой группы вычислим произведение входящих в неё чисел; меньшее произведение обозначим $m$, большее — $n$. Числа $m$ и $n$ оба нечётные, взаимно простые, $m\geqslant 3$.
Теперь найдём $a$ и $b$ из системы $$\begin{cases}a-b=m^2,\\ a+b=n^2,\end{cases}$$ что даёт $$\begin{cases}a=\frac{n^2+m^2}2,\\ b=\frac{n^2-m^2}2;\end{cases}$$ число $a$ будет нечётным, $b$ — чётным; $a-b=m^2\geqslant 9$; $a$ и $b$ взаимно простые.
Тогда $$a^2-b^2=(a-b)(a+b)=m^2n^2=(mn)^2.$$ Поскольку произведение $mn$ есть просто произведение всех выбранных простых чисел и не зависит от того, как мы их разбили на две группы, то $(mn)^2$ имеет $2^{N-1}-1$ представлений в виде разности квадратов натуральных чисел, удовлетворяющих всем вашим условиям.

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 12:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


21/11/12
1968
Санкт-Петербург
Andrey A в сообщении #1385012 писал(а):
нет, здесь $gcd(117,108)=9$

Тогда так $617^2-608^2=233^2-208^2=137^2-88^2=105^2.$ Устраивает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Множества не содержащие простых чисел
Сообщение31.03.2019, 14:21 
Аватара пользователя


12/10/16
637
Almaty, Kazakhstan
Someone
спасибо, ваш педагогический опыт заметен.
Andrey A в сообщении #1385022 писал(а):
Тогда так $617^2-608^2=233^2-208^2=137^2-88^2=105^2.$ Устраивает?

да, вполне

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 37 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group