Множество

будет содержать все составные нечётные числа кроме вида

, и ни одного простого числа :

где

;

;

и

противоположной чётности,

и

взаимопросты.
Вам уже написали, но я добавлю очевидную, на мой взгляд, конструкцию, позволяющую получать сколько угодно нечётных квадратов, допускающих сколь угодно много представлений в виде разности квадратов взаимно простых чисел, отличающихся не менее чем на

.
Возьмём

попарно различных нечётных простых чисел, разобьём их на две группы так, чтобы каждая содержала не менее одного числа (последнее условие появилось из-за вашего

; число таких разбиений равно

); для каждой группы вычислим произведение входящих в неё чисел; меньшее произведение обозначим

, большее —

. Числа

и

оба нечётные, взаимно простые,

.
Теперь найдём

и

из системы

что даёт

число

будет нечётным,

— чётным;

;

и

взаимно простые.
Тогда

Поскольку произведение

есть просто произведение всех выбранных простых чисел и не зависит от того, как мы их разбили на две группы, то

имеет

представлений в виде разности квадратов натуральных чисел, удовлетворяющих всем вашим условиям.