AscoldВ обоих случаях автор допускает вольность речи, заменяя бесконечно малые конечными величинами, в надежде, что читатель наглядно представит картину.
1. Возьмём произвольную точку

. Через неё проходят 1) одна из геодезических конгруэнции, то есть интегральная линия поля

, и 2) одна интегральная линия векторного поля

. Соответствующие касательные векторы,

и

, нигде не обращаются в нуль и нигде не коллинеарны. Любая интегральная линия поля

пересекает множество геодезических, в этом смысле она их "соединяет". Шутц имеет в виду такой наглядный образ.
Выберем геодезическую

и на ней возьмём точку

. Вектор

в этой точке изобразим маленькой стрелочкой с началом в

и концом в точке

, лежащей на близкой геодезической

. Пусть и в

, и в

значение параметра равно

. (Имеется в виду параметр

, входящий в уравнение геодезической как интегральной линии поля

, т.е.

).
Изменение ("эволюция") вектора

вдоль геодезической полностью определяется требованием

, и наглядно это требование означает вот что:

начало вектора

всё время остаётся на геодезической

, а конец на геодезической

;

вектор

всегда соединяет точки

и

с равным значением параметра

.
Это и есть перенос Ли.
2. Может быть, стал ясен ответ и на второй вопрос. Пусть у нас евклидово пространство, кривизны нет, геодезические — прямые.
Снова возьмём две геодезические

и

. В точке

вектор

таков, что его конец находится в близкой точке

. В окрестности этих точек

и

близки, но чем дальше, тем больше расходятся — не из-за девиации, а просто потому, что непараллельны. Тогда при движении вдоль прямой

вектор

обязательно будет меняться (как минимум, удлиняться), но это и означает

.
3. Ещё один фактор, влияющий на

— параметризация геодезических. Шутц об этом не упомянул. Представьте евклидову плоскость. Все геодезические данной конгруэнции — параллельные прямые, но от одной прямой к другой меняется производная

, где

— длина пути. Тогда вектор

при движении вдоль прямой

будет «перекашиваться»: если в точке

он перпендикулярен

, то в точке

уже нет.