Уравнение девиации геодезических, Шутц

[Ascold]

В разделе 6.9 непонятно:
1.Что имеет ввиду автор: "рассмотрим конгруэнцию геодезических с касательным ветором и соединяющий кривые конгруэнции вектор $\mathbf{\xi}$" - что такое вектор, соединяющий кривые, здесь же, вроде, касательные вектора, или это просто что-то из серии замены бесконечно малой хорды отрезком касательной?
2. "Его первая производная $\nabla_{\mathbf{U}}\mathbf{\xi}$ зависит от начальных условий, от того, параллельны исходные геодезические или нет." - где в ков. производной вектора $\mathbf{\xi}$ вдоль геодезической содержится информация, о параллельности исходных геодезических?

[svv]

Ascold
В обоих случаях автор допускает вольность речи, заменяя бесконечно малые конечными величинами, в надежде, что читатель наглядно представит картину.

1. Возьмём произвольную точку $P$. Через неё проходят 1) одна из геодезических конгруэнции, то есть интегральная линия поля $\mathbf u$, и 2) одна интегральная линия векторного поля $\boldsymbol\xi$. Соответствующие касательные векторы, $\mathbf u(P)$ и $\boldsymbol\xi(P)$, нигде не обращаются в нуль и нигде не коллинеарны. Любая интегральная линия поля $\boldsymbol\xi$ пересекает множество геодезических, в этом смысле она их "соединяет". Шутц имеет в виду такой наглядный образ.

Выберем геодезическую $p$ и на ней возьмём точку $P_0$. Вектор $\boldsymbol\xi$ в этой точке изобразим маленькой стрелочкой с началом в $P_0$ и концом в точке $Q_0$, лежащей на близкой геодезической $q$. Пусть и в $P_0$, и в $Q_0$ значение параметра равно $0$. (Имеется в виду параметр $\lambda$, входящий в уравнение геодезической как интегральной линии поля $\mathbf u$, т.е. $\frac{dx^k}{d\lambda}=u^k$).
Изменение ("эволюция") вектора $\boldsymbol\xi$ вдоль геодезической полностью определяется требованием $\mathcal L_\mathbf u\boldsymbol\xi =0$, и наглядно это требование означает вот что:
$\bullet$ начало вектора $\boldsymbol\xi$ всё время остаётся на геодезической $p$, а конец на геодезической $q$;
$\bullet$ вектор $\boldsymbol\xi$ всегда соединяет точки $P_\lambda$ и $Q_\lambda$ с равным значением параметра $\lambda$.
Это и есть перенос Ли.

2. Может быть, стал ясен ответ и на второй вопрос. Пусть у нас евклидово пространство, кривизны нет, геодезические — прямые.
Снова возьмём две геодезические $p$ и $q$. В точке $P_0\in p$ вектор $\boldsymbol\xi$ таков, что его конец находится в близкой точке $Q_0\in q$. В окрестности этих точек $p$ и $q$ близки, но чем дальше, тем больше расходятся — не из-за девиации, а просто потому, что непараллельны. Тогда при движении вдоль прямой $p$ вектор $\boldsymbol\xi$ обязательно будет меняться (как минимум, удлиняться), но это и означает $\nabla_{\mathbf u}\boldsymbol\xi\neq 0$.

3. Ещё один фактор, влияющий на $\nabla_{\mathbf u}\boldsymbol\xi$ — параметризация геодезических. Шутц об этом не упомянул. Представьте евклидову плоскость. Все геодезические данной конгруэнции — параллельные прямые, но от одной прямой к другой меняется производная $\frac{ds}{d\lambda}$, где $s$ — длина пути. Тогда вектор $\boldsymbol\xi$ при движении вдоль прямой $p$ будет «перекашиваться»: если в точке $P_0$ он перпендикулярен $p$, то в точке $P_1$ уже нет.