Сканави как школьный учебник?

[Munin]

Не здесь место это обсуждать. Скажу только, что сами математики понимали свой матанализ на протяжении многих веков по-разному (и не двумя, а большим числом способов), и вполне заслуживали слова "понимали". Странно отказывать прошлым пониманиям в том, чтобы быть пониманиями, когда им пользуются прикладники.

[DandyLarkin]

Цитата:

Понять математическую дисциплину можно только в том смысле, в котором её понимают сами математики (за вычетом разных уровней обобщения, то есть можно вполне понять алгебраические многообразия, не зная топосов, и точно так же с анализом на прямой и дифференциальными формами). Другое дело, что большинство прикладников обходятся без этого понимания, заменяя его чем-то другим, например, физической интуицией.

Я хоть и не особо желаю понять предмет, как его понимают сами математики(к сожалению или к счастью, не знаю), но вы меня все же заинтересовали и хочу спросить. А чем качественно отличается Зорич от других учебников, что дает такое понимание, а другие нет? Просто много раз видел, что советуют Зорича, но при этом говорят, что уровень сложности Nightmare. Он дает понимание, потому что вводит более общие определения, вкладывает в рассказывание какой-то совсем иной смысл, нежели другие авторы, или он просто все математические предложения формально доказывает от А до Я, чего не делают другие авторы?

[jekyl]

DandyLarkin в сообщении #1384713 писал(а):

Просто много раз видел, что советуют Зорича, но при этом говорят, что уровень сложности Nightmare.

Обычный учебник. Мне он нравиться своей компактностью. Но некоторые вещи, например, по моему мнению, лучше изложены в Кудрявцеве. А за кучей примеров вообще лучше обратиться к Фихтенгольцу.
Лучше просматривать несколько учебников, если изучать мат. анализ. Но программисту, такой объем я думаю не нужен. Хотя всё зависит от области программирования, естественно. Где-то это и нужно.

[podih]

DandyLarkin
Скорее, Зорич разбирает основы на строгом языке мат. логики. Это надо математикам, но программистам может доставить лишь эстетическое удовольствие. - Если поймёте. Хуже, когда просто решите, что понимаете. Munin прав: время деньги.
Почему именно Кремер? В линейке он даёт алгоритмы, легко перекладывающиеся в программы. Если вы будете, кроме упражнений, составлять программы, вы почувствуете мощный приток своей значимости и состоятельности как программист. Ну а пара месяцев Сканави всё-таки нужны. Эта тактика будет оперировать в стратегии вышки. Без неё вы будете обречены на изобретение нелепого велосипеда. Если не терпится, первую часть Кремера -- линейку - можете отрабатывать однотаймово со Сканави, там простая математика.
jekyl, вы назвали учебники в 1200-1500 страниц. Кудрявцев неплох, но пожалейте время соискателя.

[DandyLarkin]

podih
Спасибо за ваши ценные советы. Так и поступлю.

[shizuka]

DandyLarkin, а как у вас с английским? Это сильно бы расширило выбор учебников самого разного уровня. Имхо, материал, изложенный в Сканави и Кремере, наверное, и будет полезен сам по себе, но к изучению

DandyLarkin в сообщении #1384479 писал(а):

Анализ алгоритмов, дискретная математика, теория графов, линейная алгебра и иже с ними, вобщем минимальный набор нормального программиста.

не относится и не уверен, что способствует.

[podih]

shizuka
всё-таки перелистайте Кремера - вместе с его же задачником. Линейка и алгоритмы этого раздела там изложены просто и достаточно полно, чтобы перейти к прямому программированию. А уже след. шагом будет Иванов Б.Н. "Дискрет. мат-ка". Дейт - переводной - громоздок и односторонен. Ещё Пантелеев "Методы оптимизации". Ну и для орлиного полёта с Васильевым "Числен. методы реш-я экстрем. задач" - да-да, 1988 год - классику не пропьёшь.

[DandyLarkin]

shizuka
С чтением все впорядке. Если есть что порекомендовать еще на выбор, из зарубежной лит-ры, был бы благодарен.

[shizuka]

Мне кажется, чтобы и освежить школьную программу, и заглянуть в "непрерывную математику" - основы матана и линейной алгебры, и познакомиться с основами дискретной и прикладной математики, хорошо подойдёт программа international baccalaureate (HL). В ней есть базовая часть (Core) и несколько дополнений (Options). Содержание Core во многом пересекается с нашей школьной программой, но имхо подобрано куда удачнее: меньше искусственных чисто учебных примеров, зато есть много полезных тем, в нашей программе (почти) не представленных (матрицы, векторная алгебра, простейшие техники интегрирования и дифуры, вероятность, статистика). Принцип мат. индукции и основы комбинаторики (что программисту было бы полезно), а также основы дифференциального исчисления в наших школах учат примерно так же, как и в IB, но в Сканави этих тем нет, так как это и не школьный учебник, а справочник для подготовки к конкретным заданиям вступительных экзаменов того времени (и которые лежат в стороне от ваших целей).

Из опций прежде всего стоит посмотреть дискретную математику, статистику и группы, множества и отношения, но и "непрерывная математика": геометрия, линейная алгебра, калькулюс будут полезны, конечно. Из книг могу посоветовать пособия Haese & Harris, скачать которые можно здесь и здесь, но на этом же сайте есть книги и других издательств. Изложение очень доступное, на уровне книжек с картинками. Порог вхождения минимальный, буквально на уровне 7-8 класса. Все опции представляют собой небольшие книжки: страниц 100 теории и задач и ещё столько же -- ответы и решения. Core довольно объёмен, но не пугайтесь: половину места занимают картинки, к тому же, можете пропускать уже хорошо знакомые темы.

Из более серьёзных книг по основам дискретки, алгебры и теории чисел могу посоветовать :

1. Ахо А.В., Хопкрофт Д., Ульман Дж.Д. Структуры данных и алгоритмы
2. Хаггарти Р. Дискретная математика для программистов
3. Lehman E., Leighton T., Meyer A. Mathematics for computer science
4. О. Оре. Графы и их применение
5. О. Оре. Приглашение в теорию чисел (самые основы)
6. Г. Дэвенпорт. Высшая арифметика (чуть сложнее)
7. С. Коутинхо. Введение в теорию чисел. Алгоритм RSA (больший уклон в сторону алгоритмов, неформальное изложение, много интересных задач)
8. Gilbert Strang. Linear Algebra and its Applications (4 edition) (очень доступное изложение, много примеров и приложений: дифуры, быстрое преобразование Фурье, линейное программирование, теория графов и сетей, теория игр, etc.)
9. Niels Lauritzen. Concrete Abstract Algebra: From Numbers to Gröbner Bases (доступное и компактное изложение основных алгебраических структур со множеством примеров)

Эти книги покрывают материал соответствующих опций IB (и уходят дальше), но IB хорош именно максимальной простотой и доступностью. Потому их можно читать параллельно с опциями IB, а возможно, стоит попробовать начать читать эти книги, минуя школьную программу вовсе, а если что-то непонятно, обращаться к пособиям IB, школьному учебнику, скажем, Мордковича или к Википедии для справок. Это уже на ваше усмотрение )

Если же возникнет желание познакомиться поближе с мат. анизом (для прикладных нужд или для общего развития, но не для глубокого изучения чистой математики), лучше возьмите книги на английском под названием "Calculus", а потом можете догнаться ещё чем-нибудь, содержащим в названии "Engineering mathematics..." или "Methods...". Например, T.M. Apostol Calculus, vol 1-2 (материал первого тома примерно покрывается опциями Calculus и Linear Algebra из программы IB, так что можете сразу приступать ко второму тому, где излагается векторный анализ, основы теорвера и численных методов) и Kreyszig E. Advanced engineering mathematics (огромная книга, так что скорее в качестве справочника по интересующим вопросам). Но это уже скорее для физиков, а в минимум программиста уж точно никак не входит.

podih в сообщении #1384736 писал(а):

всё-таки перелистайте Кремера - вместе с его же задачником. Линейка и алгоритмы этого раздела там изложены просто и достаточно полно, чтобы перейти к прямому программированию

Согласен, линейная алгебра там есть, но как-то совсем немного, да и имхо будет не очень понятно после прочтения, как это применять в программировании. Несколько задачек из экономики там приводятся, правда, но у Гилберта Стренга приложений намного больше (хотя он и объёмней, конечно). Насчёт задачника согласен, будет полезен, чтобы разобраться с простыми примерами.

[Munin]

shizuka в сообщении #1384776 писал(а):

Из книг могу посоветовать пособия Haese & Harris, скачать которые можно здесь и здесь, но на этом же сайте есть книги и других издательств.

Спасибо, я скачал, но там, кажется, пропущен кусок про матрицы. В Mathematics HL (Core) они упомянуты как Background Knowledge, а в книжке Background Knowledge про них нет ни слова вообще. Не дадите этот кусок, если он у вас есть? Мне как раз пригодятся изложения уровня

shizuka в сообщении #1384776 писал(а):

минимальный, буквально на уровне 7-8 класса.

[shizuka]

Munin в сообщении #1384805 писал(а):

пропущен кусок про матрицы

Спасибо, не знал: очевидно в третьем издании его почему-то убрали. Я пользовался первым (pdf): станицы 305-351

[Munin]

Ага, спасибо!

[GOLOTOPAXPOP]

Munin, с развитием математики как науки изменялись и стандарты того, что считать пониманием. Впрочем, и сейчас у различных математиков различные мнения на этот счет. Арнольд особенно был славен неотродоксальным взглядом на это понятие. Но мейнстримное мнение о "понимании" неуклонно связывают его со строгостью изложения и с правильной общностью абстракций (при слишком низком уровне абстракции лишнии детали мешают пониманию, а при слишком высоком изменяется смысл концепции). В качестве примера: лучшее понимание многомерного анализа дает теории гладких многообразий и дифференциальных форм.
DandyLarkin, изложение Зорича немного более абстрактное, чем у других авторов (я сейчас про анализ на прямой, то есть про бОльшую часть первого тома). Например, понятие предела функции он вводит через топологическое понятие базы (кажется, Зорич единственный, кто так делает). Многие считают что более высокий уровень абстракции коррелирует с более высокой сложностью изложения (я лично совершенно несогласен, но не отрицаю, что у разных людей разные склонности к абстрактным вещам).
Вообще, я бы не советовал вам зацикливаться на одном учебнике. У того же Зорича бывают неудачные моменты в изложении, которые трудно понять при первом знакомстве с материалом (например, про погрешности в первой главе). Можете попробовать Зорича вместе с чем-то более классическим. Хотя лично я не знаю приличных учебников по анализу на русском языке, кроме Зорича (и Лорана Шварца, но его вам читать пока не стоит). На английском языке есть прекрасный трехтомник Amann-Escher "Analysis".

[Munin]

GOLOTOPAXPOP
Хорошо, согласны ли вы, что до более абстрактного понимания надо "дорасти" через промежуточное более конкретное?

-- 30.03.2019 17:58:44 --

Определение предела по базе надо уметь перевести на язык эпсилон-дельта. Встретив теорему Стокса, надо уметь убедиться в ней прямым вычислением на конкретном примере. Рассуждая о группе вращений в пространстве, надо уметь сложить два конкретных поворота. И т. д.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1384915 писал(а):

Определение предела по базе надо уметь перевести на язык эпсилон-дельта.

Если база хорошая и пространство метризуемое.

Вообще мне тоже не нравится, что за всю математику говорят о том, что одно якобы понимание, а другое — не понимание. Тем более если назначать ими некоторые единичные словесные формулировки. Тем более если формулировка содержит понятия, чтобы разобраться с которыми, нужно разобраться с куда большей кучей вещей, чем с одной лишь штукой, которую эта формулировка предполагает делать понятной.

А дело в том, что понимание — это не свойство одной штуки изолированно* (как в смысле «понимаю векторы», так и в смысле «понимаю линейную алгебру»). Это свойство штуки в контексте других штук, и чем больше мы знаем других штук, тем больше мы можем в принципе «возвыситься» (или не можем — как повезёт), но если мы не знаем ни про одну, это не должно запрещать нам говорить про некоторый уровень понимания выбранной — это малоконструктивный взгляд на вещи.

Хотя так можно договориться и до того, что произвольный фрик «понимает» то, на чём у него фокус. Нет, важна применимость. Например, можно понимать дифференцирование, механически определив его на степенях переменной и формальных рядах, а можно например понимать дифференцирование вещественных функций, комплексных функций или функций между банаховыми пространствами, и это будут даже частично несоизмеримые понимания, потому что формальное дифференцирование — чисто алгебраическая вещь, не требующая геометрических свойств как та же производная Фреше и её более конкретные ипостаси.

И каждый математик не может знать сразу всей башни обобщений и связей, которые уже нашли — или найдут в будущем. Так что если и определять идеальное математическое понимание, оно окажется уже многие десятилетия недоступным никому из людей. И тут только ждать сильного ИИ или там постгуманизм какой.

* А уж про уровни понимания и разные требования тут и так сказали. И эти мысли в принципе пересекаются, но даже если это просто взгляд на то же самое сбоку, его может недоставать для понимания.