Сканави как школьный учебник?

[Munin]

arseniiv в сообщении #1384938 писал(а):

Если база хорошая и пространство метризуемое.

Друма с вами, речь всё ещё о действительной прямой.

[GOLOTOPAXPOP]

Munin,

Цитата:

Хорошо, согласны ли вы, что до более абстрактного понимания надо "дорасти" через промежуточное более конкретное?

Этот вопрос мною трактуется двумя способами:
1) Являются ли важные примеры и частные случаи абстрактных концепций частью понимания этих концепций?
2) Обязательно ли идти снизу вверх по так называемой "лестнице абстракций"?

Мой ответ на вопрос 1) - да, а на вопрос 2) - нет.

Цитата:

Определение предела по базе надо уметь перевести на язык эпсилон-дельта. Встретив теорему Стокса, надо уметь убедиться в ней прямым вычислением на конкретном примере. Рассуждая о группе вращений в пространстве, надо уметь сложить два конкретных поворота. И т. д.

Согласен.

[Munin]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1384963 писал(а):

Этот вопрос мною трактуется двумя способами: ...
2) Обязательно ли идти снизу вверх по так называемой "лестнице абстракций"?
Мой ответ... на вопрос 2) - нет.

Странно, почему. Вроде со всем остальным вы согласились.

Или вы предлагаете так: давать абстрактное определение, и сразу набивать его тоннами примеров, причём с каждым работать до хорошего знакомства и освоенности. То есть, преимущество абстрактности в скорости исчезает.

Но думаю, "сначала примеры, потом абстрактное определение" ценно ещё и другим. Каждый конкретный пример - это пример, демонстрирующий не одно определение, а связанную систему определений, и даже не одну, а много - его можно абстрагировать в разных направлениях.

Или нюанс кроется здесь:

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1384963 писал(а):

1) Являются ли важные примеры и частные случаи абстрактных концепций частью понимания этих концепций?..
Мой ответ на вопрос 1) - да

А являются ли они необходимой частью понимания этих концепций?

[GOLOTOPAXPOP]

Munin,

Цитата:

Или вы предлагаете так: давать абстрактное определение, и сразу набивать его тоннами примеров, причём с каждым работать до хорошего знакомства и освоенности. То есть, преимущество абстрактности в скорости исчезает.

Необязательно тоннами и необязательно сразу. Человек может прожить какое-то время и с "неполным" пониманием. Все примеры знать также необязательно, надо сконцентрироваться на самых полезных. И я предлагаю давать естественную (не слишком низкую и не слишком высокую) общность сразу не ради скорости, а ради лучшего понимания. Переучиваться сложнее, чем правильно учиться с нуля.

Цитата:

А являются ли они необходимой частью понимания этих концепций?

Какое-то количестве является непременно. Но не "тонны".

Цитата:

Но думаю, "сначала примеры, потом абстрактное определение" ценно ещё и другим. Каждый конкретный пример - это пример, демонстрирующий не одно определение, а связанную систему определений, и даже не одну, а много - его можно абстрагировать в разных направлениях.

Я не очень понимаю, в чем проблемы давать один и тот же пример в разных контекстах.

[Munin]

(Оффтоп)

Для цитирования предпочтительней использовать выделение + кнопку , тогда появляется ссылка на источник цитирования.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385038 писал(а):

Переучиваться сложнее, чем правильно учиться с нуля.

Вот мне кажется, это какой-то устойчивый миф. Говорю как человек, переучивавшийся за свою жизнь много раз. На самом деле, правильно учиться с нуля - намного сложнее, чем учиться с нуля, начиная с чего попроще.

Первый же пример, который ставит в тупик: почему в определение группы ассоциативность входит, а коммутативность - нет? Почему не рассматривают конструкций, в которых наоборот? Ассоциативность выглядит как более сложное свойство (туда входят три буковки, а не две).

Моё первое знакомство с понятиями топологии (как структуры), открытых множеств, базы, аксиом отделимости - произошло тогда, когда из открытых множеств я знал только "круг без границы". И всё это мне показалось полнейшей абстрактной чушью, оторванной от моих потребностей, и я только заработал фобию от этого всего, и до сих пор не стремлюсь узнать определения фильтра и ультрафильтра. История повторялась: я точно так же заработал фобию от понятий топосов, пучков. (Диф. формы, категории - фобии бывшие, но преодолённые; функторы - преодолеваемая прямо сейчас.) И напротив, я невероятно благодарен учителям и авторам, которые объясняли не "правильно с нуля", а поднимая по лестнице примеров, от простых, до более сложных.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385038 писал(а):

Я не очень понимаю, в чем проблемы давать один и тот же пример в разных контекстах.

С этим явлением самим по себе - нет проблем. Однако есть проблема в том, что рано или поздно надо когда-то сесть и тесно с этим примером познакомиться и разобраться - с примером per se, а не в контексте какого-то контекста. Можно вначале, при первой встрече, можно потом, при второй или шестой. Но надо. Иначе в голове вместо одного примера будут обрывочные несвязные упоминания его "в разных контекстах" - когда бриллиант заменяется отблесками его граней. Читатель (ученик) может даже не запомнить, что все эти упоминания фактически относятся к одному примеру (особенно из-за того, что в разных контекстах его могут по-разному называть и обозначать). А для этого - нужно выделить в учебном плане на это место. И на второй пример. И на четырнадцатый. И вот получается, что учебный план всё-таки начинает центрироваться на примерах, хотя бы его начальная часть.

[GOLOTOPAXPOP]

Munin, что же, могу только сказать, что у разных людей разные склонности к абстрактному.

Munin в сообщении #1385067 писал(а):

Первый же пример, который ставит в тупик: почему в определение группы ассоциативность входит, а коммутативность - нет? Почему не рассматривают конструкций, в которых наоборот? Ассоциативность выглядит как более сложное свойство (туда входят три буковки, а не две).

А если бы вам попытались объяснить, что преподавание математики утилитарно, потому что концепций можно придумать бесконечное множество, а жизнь конечна, поэтому нужно выучить самые полезные из них, чтобы потом использовать в работе, как бы вы отреагировали? Более конкретно: понятие группы намного важнее коммутативной магмы, потому что группа полезна в работе математика и физика, а коммутативная магма - нет. Примеры некоммутативных групп, конечно, нужны, но их обычно дают сразу же - группа перестановок множества, диэдральная группа и четверная группа Клейна - понятия, доступные новичку. Группа кватернионов тоже не особо абстрактна.

Munin в сообщении #1385067 писал(а):

Моё первое знакомство с понятиями топологии (как структуры), открытых множеств, базы, аксиом отделимости - произошло тогда, когда из открытых множеств я знал только "круг без границы".

Да, это рановато. Надо начинать с метрических пространств.

Munin в сообщении #1385067 писал(а):

я точно так же заработал фобию от понятий топосов

Боюсь, топосы реально имеют мало приложений как в самой математике, так и в физике. Физику они уж точно не нужны. А пучки - это просто язык, с помощью которого определяются геометрические объекты, например, схема.

[Munin]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385269 писал(а):

Munin, что же, могу только сказать, что у разных людей разные склонности к абстрактному.

С этим согласен, и как по-вашему, какие склонности распространённей?

(Если обсуждать лично меня, то у меня склонности к абстрактному были достаточно велики, чтобы в школе и в вузе я успевал по математическим предметам среди лучших. То есть нельзя сказать, что этих склонностей у меня явный недостаток.)

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385269 писал(а):

А если бы вам попытались объяснить, что преподавание математики утилитарно, потому что концепций можно придумать бесконечное множество, а жизнь конечна, поэтому нужно выучить самые полезные из них, чтобы потом использовать в работе, как бы вы отреагировали? Более конкретно: понятие группы намного важнее коммутативной магмы, потому что группа полезна в работе математика и физика, а коммутативная магма - нет.

Это бы для меня звучало бессодержательно. Потому что не было бы подкреплено примерами.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385269 писал(а):

Примеры некоммутативных групп, конечно, нужны, но их обычно дают сразу же - группа перестановок множества, диэдральная группа и четверная группа Клейна - понятия, доступные новичку. Группа кватернионов тоже не особо абстрактна.

Ну что вы. Эти примеры жалки и уродливы. (Сами по себе они хороши, но как подборка примеров на эту тему - жалки и уродливы.) Желательно упомянуть про группу (собственных) вращений пространства вокруг точки, про группу (собственных или всех) движений плоскости. К группе перестановок множества можно добавить биекции на отрезке или на числовой прямой (можно даже построить группу аффинных движений прямой $x\mapsto kx+b,\quad k\ne 0$). Свободная группа на двух элементах. Ещё что-нибудь.

Примеры нужны не для того, чтобы показать, что "такое есть" (в специально придуманных случаях), а для того, чтобы показать, что "такое часто встречается" и "такое встречается в уже знакомых вам ситуациях".

Ну и разумеется, с этими примерами надо много поработать. Например, убедиться, что $V_4\cong(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\otimes(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}).$ В перестановках научиться их перемножать, дойти до циклов и возводить их в степень. Диэдральную группу описать двумя образующими и соотношениями, и тоже научиться перемножать любые элементы. Как видно, эти же примеры, при достойном изучении именно как примеров, а не только "упоминании в контексте", дадут основу для других понятий: подгруппы и факторизации, прямые и полупрямые произведения, образующие и соотношения, или например, генераторы групп Ли.

[GOLOTOPAXPOP]

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

С этим согласен, и как по-вашему, какие склонности распространённей?

Большинство считает, что нужны сначала примеры. Видимо, часто такое мнение отражает их склонности (но не всегда).

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

Если обсуждать лично меня, то у меня склонности к абстрактному были достаточно велики, чтобы в школе и в вузе я успевал по математическим предметам среди лучших. То есть нельзя сказать, что этих склонностей у меня явный недостаток

Любой человек, способный успешно изучать серьезную математику, обладает приличным уровнем абстрактного мышления. Просто мне это трудно понять "сердцем", потому что меня абстрактное, скорее, привлекало нежели отталкивало. Например, с категорий я начал изучение абстрактной алгебры, и было очень интересно. Общая топология, в свою очередь, действительно казалась чем-то больно абстрактным, но я знал, что она является пререквизитом к алгебраической топологии, алгебраической геометрии и теории гладких многообразий, поэтому все равно изучал её. Аксиоматическая теория множеств (аксиомы, эквивалетные формулировки аксиомы выбора, ординалы, арифметика кардиналов) также мною изучалась в самом начале и являлась довольно интересной (я хотел знать строгое определение кардинального числа, а наивная теория множеств мне этого не давала).
При этом я отдаю себе отчет в том, что многие, в том числе очень умные люди, начинающие изучать математику, к абстракциям относятся куда осторожнее, и это не мешает им становиться успешными математиками в дальнейшем.

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

Это бы для меня звучало бессодержательно. Потому что не было бы подкреплено примерами.

Вот это мне непонятно. Вы же изучали математику с какой-то целью, а не просто ради удовольствия, верно? А именно - чтобы потом применить её в физике. Из вашего предыдущего сообщения я не увидел, что вам было очень сложно или непонятно, но увидел, что вы сомневались в полезности конкретных математических концепций. Неужели вы совсем не верили старшим товарищам, которые побудили вас это изучать?

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

Свободная группа на двух элементах.

Безусловно, свободные группы (и свободные абелевы группы) - очень важный пример, просто я посчитал его более абстрактным. Двумя элементами ограничиваться необязательно (хотя для свободных абелевых групп можно сначала ограничиться конечным числом элементов, если хочется).

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

"такое часто встречается"

Я боюсь, это первокурснику-математику показать невозможно, можно лишь его обмануть. Реальное примение групп в современной исследовательской математике (например, группы Ли или гомотопические группы) требует большего количества знаний, чем есть у него не данный момент. То есть все равно мы приходим к

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

"такое есть"

Что касается

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

"такое встречается в уже знакомых вам ситуациях".

то да, я согласен. Есть ещё группа вычетов по модулю (и мультипликативная группа кольца вычетов по модулю, для определения которой слово "кольцо" знать необязательно). Для работы с этими примерами достаточно элементарной арифметики. Впрочем, они абелевы.

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

В перестановках научиться их перемножать, дойти до циклов и возводить их в степень. Диэдральную группу описать двумя образующими и соотношениями, и тоже научиться перемножать любые элементы.

Только так и надо. Этим группам надо посвятить отдельно пару лекций.

[Munin]

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

меня абстрактное, скорее, привлекало нежели отталкивало.

Да в общем, меня абстрактное тоже привлекает. Однако до какого-то предела. Когда определения громоздятся одно на другом, и никак не видно, чтобы они начинали взаимодействовать, а от самого нагромождения голова уже трещит - интерес как-то пропадает. Ну есть такая башня, и что... Не взбираться же на неё из одной только любви к альпинизму.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

Вот это мне непонятно. Вы же изучали математику с какой-то целью, а не просто ради удовольствия, верно? А именно - чтобы потом применить её в физике.

Вот как раз нет. Для физики нужно совсем немного математики - какие-то 10 % или 1 % от того, что предлагается. Так что "просто ради удовольствия" - мотив для знакомства примерно с половиной математики, с которой я знаком.

При этом, математика весьма часто излагается с высокомерным презрением к тем, кто захочет её применять. "Мы тут теоремы доказываем, а не учим плебейским вычислениям." Это, как минимум, раздражает. И заодно отрывает изучаемую математику от применения, вынуждает изучать её для удовольствия, или не изучать вовсе. (А для вычислений вполне достаточно примерно матриц и тензоров и анализа на $\mathbb{R}^n$ - сами понимаете, сколько это.)

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

Из вашего предыдущего сообщения я не увидел, что вам было очень сложно или непонятно, но увидел, что вы сомневались в полезности конкретных математических концепций. Неужели вы совсем не верили старшим товарищам, которые побудили вас это изучать?

Ну, когда речь шла о группах, то скажу честно, я их изучал настолько давно, что уже не помню, было ли мне сложно, или нет. Кажется, было. Но не помню мотивации.

А другие вещи, которые я называл - было реально сложно. Особенно при первом знакомстве. Потом при втором и при третьем. И никакие старшие товарищи меня не побуждали - не было таковых. Были упоминания в некоторых книгах, что такое-то решается такими-то методами, что такое-то наводит ясность в том-то. Вот и все стимулы. В том числе, поэтому история растянулась на намного больше лет, чем могла бы.

Munin в сообщении #1385282 писал(а):

"такое часто встречается"

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

Я боюсь, это первокурснику-математику показать невозможно, можно лишь его обмануть. Реальное примение групп в современной исследовательской математике (например, группы Ли или гомотопические группы) требует большего количества знаний, чем есть у него не данный момент.

Я думаю, что для того, чтобы привести названные мной примеры, не требуется излагать тех теорий, которые их сполна задействуют. Тут опять же: пример может быть простым и обозримым, даже если абстракции, которые из него вырастают, идут далеко в будущее. То есть, названные вами вещи - это по сути уже не теория групп, это другие теории. Упомянуть их можно, пускай смысла этих названий пока слушатели и не знают.

Это, кстати, ещё один "заскок" в преподавании математики: стремиться ни в коем случае не упоминать никаких вещей до того, как их можно с полной строгостью и полнотой ввести. Ни в одной другой науке такого нет. И даже в школьной математике нет. Строгость самой математики - не оправдание: одно дело строго доказывать результаты, и совсем другое - как излагать предмет. Никто не спорит, что к моменту произнесения доказательства нужный уровень строгости должен быть достигнут (или честно сказать о срезанных углах).

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

Впрочем, они абелевы.

Да, абелевых примеров ещё полмешка напрашивалось, я сам тоже писал и стирал.

GOLOTOPAXPOP в сообщении #1385407 писал(а):

Только так и надо. Этим группам надо посвятить отдельно пару лекций.

Я бы даже сказал, не только лекций, но и практических занятий.

Впрочем, про группы поговорить приятно, но упомянул я их как иллюстрацию более общей мысли.

[arseniiv]

Munin в сообщении #1384961 писал(а):

Друма с вами, речь всё ещё о действительной прямой.

А какой смысл изучать абстрактные определения предела, не уходя от действительной прямой? Ну то есть тот же Зорич, конечно, раненько вводит… хм. Да, я не подумал, что можно говорить не об «истинном облике» обобщения, а о том, что получится, если в его определении несколько общих ещё не известных вещей позаменять для начала на более простые ($\mathbb R$). И это тоже конечно разумный ход.

[Munin]

arseniiv в сообщении #1385637 писал(а):

А какой смысл изучать абстрактные определения предела, не уходя от действительной прямой? :-) Ну то есть тот же Зорич, конечно, раненько вводит… хм.

Я ровно о том же.

[пианист]

Восходя, так сказать, по заветам классиков м.-л. ;), "от абстрактного к конкретному", легко начать переливать из пустого в порожнее, манипулировать с бессодержательными вещами, бессодержательность которых скрывает формализм и чисто технические детали.
И, как говаривал мне когда-то давно мой микрошеф, "Один пример просто пример, два примера метод, три - теория" ;)