Множество многочленов с ограничением как лин. пространство

[m7onov]

Добрый день.
Есть задача, на которую я знаю ответ, но которую никак не могу понять.
Задача: Множество многочленов степени не больше 5, не имеющих слагаемых (одночленов) степени меньше 2, является линейным пространством.
Ответ: не верно
Теперь пытаемся разобраться. Условию задачи удовлетворяют многочлены вида $p(x)=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+0x^1+0x^0$. Умножение на число и сложение многочленов, очевидно, замкнуты для таких многочленов. Теперь будем проверять условия линейного пространства пункт за пунктом. Кое какие выкладки я буду пропускать ввиду очевидности.

1. $p_1(x)+p_2(x)=p_2(x)+p_1(x)=(a_1+a_2)x^5+(b_1+b_2)x^4+(c_1+c_2)x^3+(d_1+d_2)x^2+0x^1+0x^0$
2. $p_1(x)+(p_2(x)+p_3(x))=(p_1(x)+p_2(x))+p_3(x)$
3. $p(x)=0x^5+0x^4+0x^3+0x^2+0x^1+0x^0$ - нулевой элемент
4. $p(x)=-ax^5+(-b)x^4+(-c)x^3+(-d)x^2+0x^1+0x^0$ - обратный элемент
5. $\alpha\cdot(\beta\cdotp(x))=(\alpha\beta)\cdotp(x)$
6. $1\cdotp(x)=p(x)$
7. $(\alpha+\beta)\cdot p(x)=\alpha\cdot p(x)+\beta\cdot p(x)$
8. $\alpha \cdot (p_1(x)+p_2(x))=\alpha \cdot p_1(x)+\alpha \cdot p_2(x)$

Вот и всё.
Так почему же такое множество многочленов не является линейным пространством?

[gris]

Возможно, считается, что нулевой многочлен это одночлен нулевой степени?
То есть, общая форма $ax^5+...+dx^2+0x+0$ некорректна, а предполагается $ax^5+...+dx^2$

[eugensk]

m7onov
Раз содержит нуль и линейную комбинацию, то это линейное пространство, подпространство $P_5$. Свойства можно было и не проверять, уже известно что они для $P_5$ (многочленов степени не выше 5) выполняются. Похоже, что в ответе опечатка.

[m7onov]

Возможно или опечатка или не корректно поставленная задача. Авторы вопроса пока не отвечают. Этот вопрос из курса "Линейная алгебра" от ВШЭ на coursera.

[gris]

Множество многочленов степени не выше пятой, конечно, пространство. А вот если оттяпать свободный член, то это уже чисто терминологическая загвоздка. Ноль является ли многочленом от второй до пятой степени именно в рамках данного курса? Я так понимаю, что нет. Тогда некорректна ваша интерпретация условия.
Например, можно так описать требуемое множество: $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2$, где $a^2+b^2+c^2+d^2>0$. Возможно, что ранее таковая формализация приводилась.

[Otta]

gris
А там ничего не говорят про "от второй до пятой". Там не выше пятой. Степень тождественно нулевого многочлена по определению полагается равной минус бесконечности, если я правильно помню, что мне в детстве рассказывали.
Есть ли в нем мономы ниже второй степени? тоже нет.

[gris]

m7onov в сообщении #1384486 писал(а):

Задача: Множество многочленов степени не больше 5, не имеющих слагаемых (одночленов) степени меньше 2, является линейным пространством.

Это чисто вопрос интерпретации. Для математика это несущественно, а для юриста или экономиста очень даже. В ВШЭ готовят не только аналитиков, но и эффективных менеджеров, которым эти мелочи могут обойтись, пынтьли.

[optimist]

Является ли $0$ многочленом степени не больше 5? Да.
Имеет ли многочлен $0$ слагаемые степени меньше 2? Нет.
Вроде как $0$ удовлетворяет условиям.

[iifat]

gris в сообщении #1384513 писал(а):

Это чисто вопрос интерпретации

Могу себе представить только две интерпретации: либо это означает, что два коэффициента — при степенях 0 и 1 — равны нулю, либо (хоть мне и трудно такое представить) таких членов нет вообще, что бы сие последнее ни означало. Первая интерпретация вполне, имхо, полно разобрана с начальном письме; вторая означает пустое множество (ну, нет таких многочленов, где такие одночлены входят не с нулевым коэффициентом, а вообще не входят!), каковое также является линейным пространством.

[gris]

Является ли ноль одночленом, степени не выше второй?

[m7onov]

Если что, условие скопировано 1 в 1. Больше мне пока дополнить нечем. Ранее в курсе рассматривались многочлены степени не выше n и многочлены степени n с точки зрения образуемости ими линейных пространств. Ничего особенного не упоминалось.

[gris]

Ну Вы же поняли, что при обычном подходе множество является векторным пространством, но можно изощриться и придумать интерпретацию, при которой оно не будет векторным пространством. А что там на самом деле — не важно. Может быть, ошибка; может быть, описка; может быть, такие у них порядки. Если важно, то придите к автору и спросите. Скорее всего, он скажет: да не помню я

[m7onov]

Спасибо. Я просто хотел удостовериться, что всё правильно понимаю и ничего не упускаю Если автор вопроса мне ответит, отпишусь здесь.

[iifat]

gris в сообщении #1384517 писал(а):

Является ли ноль одночленом, степени не выше второй?

Таки нашёл: Число 0 является нулевым одночленом. Ещё в паре мест явно упоминают ненулевой коэффициент. В общем, сложнейший вопрос совремнной общественности...

[svv]

m7onov
Запишите общий вид многочлена как $ax^5+bx^4+cx^3+dx^2$ (как писал gris), а нулевой элемент как $0x^5+0x^4+0x^3+0x^2$, и Вы железно правы.