Сложности в изучении комбинаторики(совсем в отчаянии)

[wrest]

Yadryara в сообщении #1384366 писал(а):

Пока не вижу ошибки. Кто из участников получил это число, а кто — другое?

У меня также получилось 301. В педагогических целях подробности см. в ЛС.

[romzes200677]

Yadryara
Я так понимаю можно приступать к варианту г) ?

[wrest]

romzes200677
Я бы вам посоветовал обобщить сперва случай в)
Имеем раскладку шаров по корзинам $ijk$, т.е. в одной корзине $i$ пронумерованных шаров, в другой корзине $j$ пронумерованных шаров и в оставшейся корзине $k$ пронумерованных шаров, $i+j+k=z$ (в нашем случае корзины непустые, то есть $1 \le i \le j \le k$, а шаров семь, то есть $z=7$). Для раскладки 115 соответсвенно $i=1;j=1;k=5$
Надо теперь написать\вывести формулу, чему равно количество способов для данной раскладки $ijk$
Иначе у вас останется ощущение что только перебор наше всё :)
Но нет, после того как вы нашли верный ответ (т.е. уверены что ответ правильный) надо обобщить, на случай задачи распределния например 8 шаров по 4 корзинам.

[Yadryara]

romzes200677, на ваш выбор. Совет уважаемого wrest я тоже одобряю.

[wrest]

romzes200677
Погрузились в отчаяние?

[romzes200677]

wrest
Здравствуйте, вы практически правы .Сижу анализирую , пытаюсь закономерность уловить , но пока никак к сожалению .Еще пару дней подумаю может все таки придет озарение . Но вы мне бесценный пинок дали , т.е у меня появился алгоритм решения сложной задачи , делаем на простых примерах и затем анализируем проделанное и выводим формулу . Я раньше так никогда не делал а хватался сразу за анализ , ну результаты вы видели в предыдущих сообщениях + я ленюсь подумать и пытаюсь как вы правильно сказали угадать готовый ,да к тому же еще и неправильный алгоритм решения . Мозг мой ленится думать и подкидывает быстрые неправильные решения . Вот моя беда .

-- 01.04.2019, 22:40 --

Я так понял в школе и нарабатывается навык подумать а не в 34 года, но я конечно сдаваться не буду

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1385361 писал(а):

Я так понял в школе и нарабатывается навык подумать а не в 34 года, но я конечно сдаваться не буду

Навык подумать вырабатывается в течение всей жизни. Так что не сдавайтесь, конечно.

Советую ещё заглянуть в недавнюю тему «Биномальные коэффициенты» Биномиальные, кстати. Или, что количественно одно и то же — сочетания.

Там, в той теме рассмотрен частный случай варианта "в" и даны две формулы: через факториалы и через БК. Две формулы существуют и для общего случая "в".

Покажите ваши наработки, подскажем чуток.

[Yadryara]

romzes200677, не стоит так затягивать, а то вдруг забудется то, что получилось. Давайте уже выкладки, хоть какие-нибудь.

Хорошо, я начну.

Yadryara в сообщении #1385376 писал(а):

Там, в той теме рассмотрен частный случай варианта "в"

А именно расклады $1$, $22$, $333$, $4444$, $55555$ и т. д. То есть раскладываются строго $n$ шаров по $n$ корзинам.

А мы с вами здесь уже считали расклады в том числе и близкие к $22$ и $333$, а именно: $133$ и $223$. Возьмите полученные формулы и сравните, вдруг увидите что-то похожее на закономерность. Затем посчитайте ещё несколько близких раскладов...

[romzes200677]

Yadryara
Здравствуйте , все это время я не ленился , а пытался понять страшную формулу $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$
из указанной вами темы "Биномальные коэффициенты" . Но не особо получилось.

Я так понимаю если решать задачу о раскладе например 9 различных шаров по 3-м неразличимым корзинам и в каждой корзине по 3 шара то получится всего 280 вариантов.
Если раскладывать 4 шара по 2-м корзинам по 2 в каждую будет 3 варианта

У нас же расклады 115,124,133,224. и для 7 шаров я так понял формула не применима, а применима только для квадратов чисел 1,2,3.. (т.е 4,9,16,25 и.т.д) или я не прав ?
В общем мне кажется чтобы хоть какие-то идеи пришли нужно хорошо понимать данную формулу ( мне так кажется ) . Да и идей особо не возникло.

Допустим для 9 шаров один из вариантов расклада 333 попадает(остальные 126,135,144,234) под нашу предыдущую задачу , и количество вариантов будет равно 280(а остальные считать только перебором) , но как применить к этим раскладкам данную формулу ума не приложу. Вот такие дела. Наверное для моего уровня знаний это сложная задача вывести формулу.

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1386296 писал(а):

пытался понять страшную формулу $\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$

Давайте её перепишем в чуть другом виде, чтобы она перестала быть такой страшной. Итак, количество вариантов для расклада $333$:

$$280=\frac{(3^2)!}{(3!)^{3+1}}=\frac{9!}{3!\cdot3!^3}$$

Теперь возвратимся к уже давно известным нам раскладам. Для $133$:

$$70=\binom71\binom52=\frac{7!}{1!6!}\cdot\frac{5!}{2!3!}=\frac{7!}{6\cdot2!3!}=\frac{7!}{2!\cdot3!^2}$$

Для $223$:

$$105=\binom31\binom73=\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{7!}{3!4!}=\frac{7!}{2!4!}=\frac{7!}{2!\cdot2!^2}$$

Обратите внимание на сходство всех трёх дробей. Именно на самые правые формулы нужно смотреть для всех трёх раскладов.

Попробуйте сами записать аналогичные формулы и для других раскладов. И вы сами увидите от чего зависит количество вариантов. И, рано или поздно, увидите формулу. Не докажете пока, а именно увидите. И в этом есть свой кайф.

[Yadryara]

Yadryara в сообщении #1386349 писал(а):

Для $223$:

$$105=\binom31\binom73=\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{7!}{3!4!}=\frac{7!}{2!4!}=\frac{7!}{2!\cdot2!^2}$$

Нет, здесь всё-таки невнимательность в конце проявил.

$$105=\binom31\binom73=\frac{3!}{1!2!}\cdot\frac{7!}{3!4!}=\frac{7!}{3!\cdot2!\cdot4}=\frac{7!}{3!\cdot2!\cdot2!^2}$$

Как видим, формула для расклада $223$ отличается от двух верхних: она длиннее. Позднее вы поймёте, почему. Сначала проделайте то же для уже обсчитанных нами раскладов $155$ и $124$.

[romzes200677]

Yadryara
Здравствуйте. Я вот долго думал и пытался понять как у вас получилась формула для раскладки 223 :
$ \binom31\binom73$
Вы не могли бы пояснить , я вот перебором понял как получается 105 , а как вы пришли к формуле рассуждение у меня не получилось. Т.е построить произведение сочетаний. У меня как раз сложность воображаемые перестановки перевести в формульные сочетания , вот не вижу я этого и все. Соответственное формуля для раскладки 155 и 124 я тоже не составил т.к не понял как получилась раскладка 223 , раскладку 133 как то приблизительно я смог увидеть закономерность .

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1386827 писал(а):

Я вот долго думал и пытался понять как у вас получилась формула для раскладки 223 :
$ \binom31\binom73$
Вы не могли бы пояснить , я вот перебором понял как получается 105 , а как вы пришли к формуле рассуждение у меня не получилось.

Так вот же я подробно писал:

Yadryara в сообщении #1384366 писал(а):

Есть ещё два способа, покажу тот, что покороче.

Для раскладки 223 можно сначала заполнить корзину с тремя шарами. Например

123 45 67
123 46 57
123 47 56

Всего-то 3 варианта для тройки 123. Я неслучайно выделил 4-ку болдом. Шар с наименьшим номером(4) просто всегда кладу в более левую корзину с парой, иначе пойдут повторы. Последние варианты:

567 12 34
567 13 24
567 14 23

Здесь шар с наименьшим номером(1) тоже всё время в более левой корзине с парой.

Таким образом, надо только сосчитать количество троек и умножить их на 3. $\binom73\cdot3 = 35\cdot3=105$

Видите? В самом низу как раз и присутствует эта формула.

Давайте поступим ещё проще. Подробно распишите и обсчитайте расклады с одинаковым количеством шаров в корзинах: $33$, $333$ и $3333$. Получите формулы для них.

Формула для $333$ вам уже известна, но если подробно распишете, увидите как она получается. Затем сравните все три формулы.

[romzes200677]

Yadryara
Я тут немного подумал , еще одну формулу нашел для раскладки 223 :
$\binom61\cdot\binom52+\binom51\cdot\binom42+\binom41\cdot\binom32+\binom31\cdot\binom22=105$
Это как раз я перевел свои перестановки в формулы, просто для самопроверки , это правильная формула ?

А на счет раскладок 33,333,3333 я подумаю и поищу закономерность.

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1386874 писал(а):

Я тут немного подумал , еще одну формулу нашел для раскладки 223 :
$\binom61\cdot\binom52+\binom51\cdot\binom42+\binom41\cdot\binom32+\binom31\cdot\binom22=105$
Это как раз я перевел свои перестановки в формулы, просто для самопроверки , это правильная формула ?

Да. Только длинная шибко. Главное: вы убедились, что зачастую можно один и тот же результат получить разными способами.