Сложности в изучении комбинаторики(совсем в отчаянии)

[wrest]

romzes200677 в сообщении #1383606 писал(а):

Берем 1 цифру и ее фиксируем , остальные сдвигаем на 1 последовательно пока не упремся в 7 (причем при выборе второй цифры пропускаем первую) а при выборе третьей пропускаем 1 и вторую (т.е 112, 123,134,145,156,167 ) итд

Ну раз вы в сокращенном виде не понимаете, записывайте так:
Для расклада 1 шар в корзине 1; 2 шара в корзине 2 и 4 шара в корзине 3 имеем следующие способы распределить пронумерованные шары:
Способ 1. Корзина 1: шары с номерами 1; корзина 2: шары с номерами 2,3; корзина 3: шары с номерами 4,5,6,7
Способ 2. Корзина 1: шары с номерами 1; корзина 2: шары с номерами 2,4; корзина 3: шары с номерами 3,5,6,7
...

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1383606 писал(а):

123,134,145,156,167

Если у вас $123$ это на самом деле $1 \quad 23 $, то где же, например, варианты $1 \quad 24 $, $1 \quad 25 $? Ведь они у меня присутствуют, см. пост 21:51.

[romzes200677]

Да вы правы , 123 это действительно у меня 1 23 , я просто пробелы убрал . И вы правы неправильно я составил алгоритм перебора. Уже поздно , подумать нужно и осмыслить может завтра с утра придумаю.

[romzes200677]

Yadryara
Привет всем.Я тут посидел,посчитал перебор вариантов.Получается для раскладки 124 нам нужно посчитать только сочетания первых двух корзин а в 3-ю они ложатся одним способом.
Например пишу одну из комбинаций для двух корзин:
3 12 ****
4 12 ****
5 12
6 12
7 12

Те для каждой 21 комбинации 2 шариков приходится ещё 5 комбинаций по одному итого 21 умножить на 5 итого 105 комбинаций .Правильно ?

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1384113 писал(а):

итого 105 комбинаций .Правильно ?

Да!

[romzes200677]

Yadryara

В итоге получается
у нас 4 варианта сумм для неразличимых корзин:
115
124
133
232

Кол-во всех вариантов = $21+5\cdot21+105\cdot4+105\cdot4\cdot3=21+105+420+1260=1806$
Правильно ?

[Yadryara]

romzes200677, неправильно. Опять вы поторопились.

Именно поэтому неплохо начинать рассмотрение вариантов на самом низовом, самом подробном уровне. Для того, чтобы быть уверенным что ничего не пропустил, лучше перечислять их, например, по неубыванию. Именно поэтому я писал, что последний расклад именно 223, а не 232.

Пустяк, казалось бы, но путаница может привести к весьма немаленьким ошибкам, как произошло и на этот раз. Ладно, способ записи для расклада 115 оставим в покое, ибо результат всё равно совпал. Но почему же вы не привели ни запись для 133, ни для 223?

Хорошо, я снова начну сам. Расклад 133 это 1 шар в одной корзине, 3 в другой и 3 в третьей. Важно так перечислить их, чтобы с одной стороны ничего не пропустить, а с другой не учесть одни и те же варианты многократно.

$1 \quad 234 \quad 567$

$1 \quad 235 \quad 467$

$1 \quad 236 \quad 457$
...
$1 \quad 267 \quad 345$

На этом уже закончили перечислять варианты с шаром под номером "1", лежащим отдельно. Почему? Да потому что у нас на повестке дня пока по-прежнему вариант "в" и корзины неразличимы. Стало быть, как только в начале первой тройки шаров окажется шар номер "3" вместо шара номер "2", пойдут повторы. Смотрите сами:

$1 \quad 345 \quad 267$

$1 \quad 346 \quad 257$
...

Эти варианты уже были. Ведь для неразличимых корзин нет никакой разницы между

$1 \quad 267 \quad 345$

и

$1 \quad 345 \quad 267$.

Нумерация шаров важна, но ни порядок шаров, ни порядок корзин не важен, так что такие варианты неразличимы.

В этом случае неплохо помогает, назову его так, "принцип неубывания". Шар с наименьшим номером, в данном случае "2", всегда будем класть в более левую корзину и тем самым избежим повторов.

Итак, сколько получилось вариантов для 1 2** *** ?

А следующими будут варианты 2 1** *** :

$2 \quad 134 \quad 567$

$2 \quad 135 \quad 467$
...
$2 \quad 167 \quad 345$

На этом уже закончили перечислять варианты с шаром под номером "2", лежащим отдельно. Ибо шар с наименьшим номером, в данном случае "1", всегда кладём в более левую корзину и тем самым избегаем повторов.

Дальше будут варианты 3 1** ***, 4 1** ***, 5 1** *** , 6 1** *** и 7 1** ***.

Как видим, для них тоже шар с наименьшим номером, а именно "1", всегда кладём в более левую корзину и успешно избегаем повторов.

Подсчитайте, пожалуйста. Только тогда будет закончен обсчёт расклада 133(1 шар в одной корзине, 3 в другой и 3 в третьей).

[romzes200677]

Yadryara
Я пересчитал.
получается для варианта с 1:
1 234
1 235
1 236
1 237
1 245
1 246
1 247
1 256
1 257
1 257

Итого 10 вариантов и цифр у нас 1..7 получается количество вариантов раскладки 133 будет 70 . Так ?

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1384199 писал(а):

будет 70 . Так ?

Да!

Не забывайте ещё, что в комбинаторике и тервере, как правило, одно и то же число можно посчитать разными способами и тем самым проверить себя. Эта задача не исключение.

[romzes200677]

Yadryara
Т.е моя задача сейчас посчитать выборку 133 с помощью формул а не перебором и привести формулы ?

[Yadryara]

romzes200677, лучше давайте уже последний расклад — 223. Вы посчитаете одним способом, на ваш выбор и, если посчитаете верно, я покажу другой.

[romzes200677]

Получается 21 способ выбрать первые 2 цифры и для каждого способа существует 10 комбинаций перестановки итого 210

Например
12 34 567
12 35 ...
12 36 ...
12 37 ...
12 45 ...
12 46 ...
12 47 ...
12 56 ...
12 57 ...
12 67 ...
далее идет комбинация
23 14 567
23 15 467
23 16 ..
23 17
23 45
23 46
23 47
23 56
23 57
23 67
...
67

Правильное решение ?

[Yadryara]

romzes200677 в сообщении #1384256 писал(а):

23 56
23 57
23 67
...
67

Как это у вас везде было указано не меньше 4-х цифр в каждом варианте, а в самом последнем варианте вдруг всего две?

Продолжите выписывать дальше, после "23 67" и вы сами увидите, правильное или нет.

[romzes200677]

Yadryara
Я пересчитал вариантов получается 105

[Yadryara]

romzes200677, да, у меня тоже получилось 105.

Просто в предпоследний раз вы проигнорировали предложенный мной принцип неубывания, поэтому у вас опять пошли повторы. Есть ещё два способа, покажу тот, что покороче.

Для раскладки 223 можно сначала заполнить корзину с тремя шарами. Например

123 45 67
123 46 57
123 47 56

Всего-то 3 варианта для тройки 123. Я неслучайно выделил 4-ку болдом. Шар с наименьшим номером(4) просто всегда кладу в более левую корзину с парой, иначе пойдут повторы. Последние варианты:

567 12 34
567 13 24
567 14 23

Здесь шар с наименьшим номером(1) тоже всё время в более левой корзине с парой.

Таким образом, надо только сосчитать количество троек и умножить их на 3. $\binom73\cdot3 = 35\cdot3=105$

Итак, сколькими различными способами можно разместить 7 шаров по 3-м корзинам, если

а)И шары, и корзины неразличимы — 4.

б)Корзины различимы, а шары нет — 15.

в)Шары различимы, а корзины нет — 301 ?

115 — 21 способ;
124 — 105 способов;
133 — 70 способов;
223 — 105 способов.

Не очень мне нравится число $301$, но уж какое есть. Пока не вижу ошибки. Кто из участников получил это число, а кто — другое?

Если правильность решения подтвердят или хотя бы не опровергнут, то можно будет перейти к варианту "г":

г)И шары, и корзины различимы — ?