Биномальные коэффициенты

[arqady]

Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число

$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$

является натуральным.
Можно ли его представить, как линейную комбинацию биномиальных коэффициентов с целыми коэффициентами?

Например, как в следующей задаче:

$$\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=4\binom{2n-1}{n}-\binom{2n+1}{n}.$$

Спасибо!

[ozheredov]

arqady в сообщении #1383789 писал(а):

Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число

Потрясающе красивая формула! Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?

[waxtep]

ozheredov в сообщении #1383792 писал(а):

Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?

A057599 (разложить $n^2$ различимых элементов по $n$ неразличимым коробкам, по $n$ элементов в каждую коробку)

[Yadryara]

Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

(Произведение)

$$\prod_{i=0}^{n-2}\binom{n(n - i)-1}{n-1}$$

Например для $n=4$

$$\binom{15}{3}\binom{11}{3}\binom{7}{3}= 455\cdot165\cdot35 = 2627625$$

[TOTAL]

Yadryara в сообщении #1384078 писал(а):

Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

Существует, вот:

$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

[arqady]

TOTAL в сообщении #1384163 писал(а):

Существует, вот:

$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

Тогда уж

$$\binom{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}{1}.$$

Yadryara , спасибо! Это видимо то, что я на самом деле искал. Вы умеете читать мысли на расстоянии!