2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Биномальные коэффициенты
Сообщение24.03.2019, 12:07 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число $$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}$$
является натуральным.
Можно ли его представить, как линейную комбинацию биномиальных коэффициентов с целыми коэффициентами?

Например, как в следующей задаче:
$$\frac{(2n)!}{n!(n+1)!}=4\binom{2n-1}{n}-\binom{2n+1}{n}.$$
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение24.03.2019, 12:47 


10/03/16
4444
Aeroport
arqady в сообщении #1383789 писал(а):
Из комбинаторных соображений легко убедиться, что число


Потрясающе красивая формула! Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение25.03.2019, 01:47 
Аватара пользователя


07/01/16
1606
Аязьма
ozheredov в сообщении #1383792 писал(а):
Какая комбинаторная задача за ней стоит, если не секрет?
A057599 (разложить $n^2$ различимых элементов по $n$ неразличимым коробкам, по $n$ элементов в каждую коробку)

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение25.03.2019, 17:31 
Аватара пользователя


29/04/13
8037
Богородский
Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

(Произведение)

$$\prod_{i=0}^{n-2}\binom{n(n - i)-1}{n-1}$$Например для $n=4$
$$\binom{15}{3}\binom{11}{3}\binom{7}{3}= 455\cdot165\cdot35 = 2627625$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение26.03.2019, 06:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
5487
Нов-ск
Yadryara в сообщении #1384078 писал(а):
Cильно подозреваю, что такой линейной комбинации не существует.

Существует, вот:
$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Биномальные коэффициенты
Сообщение27.03.2019, 07:51 
Заслуженный участник


26/06/07
1929
Tel-aviv
TOTAL в сообщении #1384163 писал(а):
Существует, вот:
$$\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}=C^1_{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}$$

Тогда уж $$\binom{\frac{(n^2)!}{(n!)^{n+1}}}{1}.$$
Yadryara , спасибо! Это видимо то, что я на самом деле искал. Вы умеете читать мысли на расстоянии!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group