2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Зорич V 3.14 a)
Сообщение24.03.2019, 17:50 


23/04/18
143
Определяем рекурсивно конечные разности $g_k(x)$ порядка $k$ функции $f$ следующим образом:
$$g_1(x)=f(x+h_1)-f(x)$$
$$g_2(x)=g_1(x+h_2)-g_1(x)$$
$$. . .$$
$$g_k(x)=g_{k-1}(x+h_k)-g_{k-1}(x)$$
(где $h_1,h_2,...,h_k\in\mathbb{R}$)
Отсюда имеем для первых двух разностей в точке $x_0$ следующие формулы:
$$g_1(x_0)=f(x_0+h_1)-f(x_0)$$
$$g_2(x_0)=g_1(x_0+h_2)-g_1(x_0)=(f(x_0+h_1+h_2)-f(x_0+h_2))-(f(x_0+h_1)-f(x_0))$$
И да, я не ошибся (также, как и учебник), если выстраивать конечные разности так, как мне предлагали здесь (с чем я когда-то поспешил согласиться): post1343356.html , то тогда легко придумать контрпример, опровергающий то, что требуется доказать в пункте а) далее.

а) Известно, что все возможные аргументы функции $f$ (а именно $x_0, x_0+h_1, ...$), используемые при определении $g_n(x_0)$, лежат на отрезке $[a,b]\subset\mathbb{R}$ и длина этого отрезка минимально возможная, а также, что $f\in C^{(n-1)}[a,b]$ и существует $f^{(n)}(x)$ хотя бы при любом $x\in(a,b)$.
Нужно доказать, что тогда найдётся точка $\xi\in[a,b]$ такая, что $g_n(x_0)=f^{(n)}(\xi)h_1h_2...h_n$
Есть две идеи, которые потенциально могут помочь, но которые я не знаю, как развить:
1. Если доказываемое утверждение неверно, то согласно теореме Дарбу для любого $x\in[a,b]$ $g_n(x_0)>f^{(n)}(x)h_1h_2...h_n$ (или для любого $x\in[a,b]$ $g_n(x_0)<f^{(n)}(x)h_1h_2...h_n$
2. Можно $f(x)$ разложить в ряд тейлора с остаточным членом в форме лагранжа, и представить в такой форме каждое слагаемое, на которые раскладывается $g_n(x_0)$, тогда большая часть сократится и останутся только n-ные производные, но что с этим делать всё равно непонятно.
Вообще здесь видимо нужно построить некую дополнительную функцию от $x$, n-ная производная которой оборачивается в нуль в некоторой точке отрезка $[a,b]$, одним из слагаемых которой является сама функция $f(x)$. Подобный трюк используется при доказательстве интерполяционной формулы Эрмита, которую можно найти по следующей ссылке в разделе "Ошибка" : https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 0%B8%D1%8F

 Профиль  
                  
 
 Re: Зорич V 3.14 a)
Сообщение13.05.2019, 11:41 


23/04/18
143
Ларчик просто открывался. Решение найдено здесь: https://mathoverflow.net/questions/3313 ... 365#331365

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group