Определяем рекурсивно конечные разности
порядка
функции
следующим образом:
(где
)
Отсюда имеем для первых двух разностей в точке
следующие формулы:
И да, я не ошибся (также, как и учебник), если выстраивать конечные разности так, как мне предлагали здесь (с чем я когда-то поспешил согласиться):
post1343356.html , то тогда легко придумать контрпример, опровергающий то, что требуется доказать в пункте а) далее.
а) Известно, что все возможные аргументы функции
(а именно
), используемые при определении
, лежат на отрезке
и длина этого отрезка минимально возможная, а также, что
и существует
хотя бы при любом
.
Нужно доказать, что тогда найдётся точка
такая, что
Есть две идеи, которые потенциально могут помочь, но которые я не знаю, как развить:
1. Если доказываемое утверждение неверно, то согласно теореме Дарбу для любого
(или для любого
2. Можно
разложить в ряд тейлора с остаточным членом в форме лагранжа, и представить в такой форме каждое слагаемое, на которые раскладывается
, тогда большая часть сократится и останутся только n-ные производные, но что с этим делать всё равно непонятно.
Вообще здесь видимо нужно построить некую дополнительную функцию от
, n-ная производная которой оборачивается в нуль в некоторой точке отрезка
, одним из слагаемых которой является сама функция
. Подобный трюк используется при доказательстве интерполяционной формулы Эрмита, которую можно найти по следующей ссылке в разделе "Ошибка" :
https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1 ... 0%B8%D1%8F