Корни из единицы (снова в школу)

[bayah]

Сейчас, что-то тривиальное спрошу и вы отправите меня разбираться с комплексными числами.

Цитата:

Корни $n$-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-1$, где $n\geqslant 1$. Другими словами, это комплексные числа, $n$-я степень которых равна $1$.

Рассмотрим случай $n = 3$.
Должно выполняться $(a+bi)^3 = 1$.
$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2b^2i^2 + b^3i^3 = a^3 - 3a^2b^2 - b^3i = 1$
Ну чтобы это выполнялось нужно чтобы не было никаких $i$, значит $b = 0$.
Тогда $a^3 = 1$.
$a = 1$

В чем ошибка?

[Dan B-Yallay]

bayah в сообщении #1383765 писал(а):

отправите меня разбираться с комплексными числами.

По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

[SiberianSemion]

"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2+b^3.$
В вашем случае
$(a+ib)^3 = a^3+(3a^2b)i-3ab^2-b^3i = a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i.$

[Евгений Машеров]

bayah в сообщении #1383765 писал(а):

В чем ошибка?

В разложении бинома, очевидно. У Вас второе слагаемое почему-то четвёртой степени и без i, а третьего и вовсе нет (есть последнее, четвёртое)

[Лукомор]

bayah в сообщении #1383765 писал(а):

В чем ошибка?

В разложении куба суммы...
Среднее из трех слагаемых в вашей формуле не правильное...
а четвертое вообще потеряно.

(Оффтоп)

В полном соответствии с классическим анекдотом про два титановых шарика:
"Один сломал, другой потерял!"

[bayah]

Dan B-Yallay в сообщении #1383767 писал(а):

По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

SiberianSemion в сообщении #1383770 писал(а):

"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)

Евгений Машеров в сообщении #1383775 писал(а):

В разложении бинома, очевидно.

Лукомор в сообщении #1383780 писал(а):

В разложении куба суммы...

Даа... автор поста похоже вообще в школе не учился!
(Не буду рассказывать как так получилось)

$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2bi +2ab^2i^2 + b^3i^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2 - b^2)bi = 1$
Должно выполняться:
$(3a^2 - b^2)bi = 0$
Если $b = 0$, $a^3 = 1$ и следовательно первый корень $a = 1, b = 0$.
Если $b \neq 0$, то $(3a^2 - b^2) = 0$ и осташваяся часть $(a^3 - 3ab^2) = 1$. Получим систему:

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 3a^2 - b^2=0 \\ a^3 - 3ab^2=1 \\ \end{array} \right.$$

Из первого $b^2 = 3a^2$ подставим во второе:
$a^3 - 9a^3 = -8a^3 = 1$

Получаем второй корень: $a = -\frac{1}{2}$, $b = \sqrt{3}a = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Так, а должно быть три корня.
Ну тут понятно что третий корень это $a = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}\sqrt{3}$, но из каких это соображений?

[Dragon27]

bayah в сообщении #1383782 писал(а):

Получаем второй корень

А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

[bayah]

Dragon27 в сообщении #1383783 писал(а):

А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

А да, там же квадратное уравнение для значения $b$.
Спасибо)