2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 08:43 


03/04/14
303
Сейчас, что-то тривиальное спрошу и вы отправите меня разбираться с комплексными числами.

Цитата:
Корни $n$-й степени из единицы — комплексные корни многочлена $x^n-1$, где $n\geqslant 1$. Другими словами, это комплексные числа, $n$-я степень которых равна $1$.


Рассмотрим случай $n = 3$.
Должно выполняться $(a+bi)^3 = 1$.
$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2b^2i^2 + b^3i^3 = a^3 - 3a^2b^2 - b^3i = 1$
Ну чтобы это выполнялось нужно чтобы не было никаких $i$, значит $b = 0$.
Тогда $a^3 = 1$.
$a = 1$

В чем ошибка?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 08:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10056
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
отправите меня разбираться с комплексными числами.

По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 09:26 
Аватара пользователя


24/03/19
147
"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2+b^3.$
В вашем случае
$(a+ib)^3 = a^3+(3a^2b)i-3ab^2-b^3i = a^3-3ab^2+(3a^2b-b^3)i.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 10:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/03/08
9874
Москва
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
В чем ошибка?


В разложении бинома, очевидно. У Вас второе слагаемое почему-то четвёртой степени и без i, а третьего и вовсе нет (есть последнее, четвёртое)

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 10:52 
Аватара пользователя


22/07/08
1416
Предместья
bayah в сообщении #1383765 писал(а):
В чем ошибка?

В разложении куба суммы...
Среднее из трех слагаемых в вашей формуле не правильное...
а четвертое вообще потеряно.

(Оффтоп)

В полном соответствии с классическим анекдотом про два титановых шарика:
"Один сломал, другой потерял!" :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:04 


03/04/14
303
Dan B-Yallay в сообщении #1383767 писал(а):
По-моему тут надо разбираться с арифметикой.

SiberianSemion в сообщении #1383770 писал(а):
"Тоже мне, бином Ньютона:" (с)

Евгений Машеров в сообщении #1383775 писал(а):
В разложении бинома, очевидно.

Лукомор в сообщении #1383780 писал(а):
В разложении куба суммы...


Даа... автор поста похоже вообще в школе не учился! :mrgreen:
(Не буду рассказывать как так получилось)

$(a+bi)^3 = a^3 + 3a^2bi +2ab^2i^2 + b^3i^3 = (a^3 - 3ab^2) + (3a^2 - b^2)bi = 1$
Должно выполняться:
$(3a^2 - b^2)bi = 0$
Если $b = 0$, $a^3 = 1$ и следовательно первый корень $a = 1, b = 0$.
Если $b \neq 0$, то $(3a^2 - b^2) = 0$ и осташваяся часть $(a^3 - 3ab^2) = 1$. Получим систему:
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
 3a^2 - b^2=0 \\
 a^3 - 3ab^2=1 \\
\end{array}
\right.$$
Из первого $b^2 = 3a^2$ подставим во второе:
$a^3 - 9a^3 = -8a^3 = 1$

Получаем второй корень: $a = -\frac{1}{2}$, $b = \sqrt{3}a = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Так, а должно быть три корня.
Ну тут понятно что третий корень это $a = -\frac{1}{2}$ и $b = \frac{1}{2}\sqrt{3}$, но из каких это соображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:18 


22/06/09
975
bayah в сообщении #1383782 писал(а):
Получаем второй корень

А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Корни из единицы (снова в школу)
Сообщение24.03.2019, 11:47 


03/04/14
303
Dragon27 в сообщении #1383783 писал(а):
А как вы получили его (не получив одновременно и третий) из $a=-\frac{1}{2},\,3a^2-b^2=0$?

А да, там же квадратное уравнение для значения $b$.
Спасибо)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj, mihaild


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group