О дискретных группах в $n$-мерном евклидовом пространстве

[Evgenii2012]

Дорогие друзья ! Вот ещё одна проблема, решение которой мне хотелось бы получить. В книге Бердона "Геометрия дискретных групп" имеется теорема 6.2.1, которая утверждает, что фактор пространство $D/G,$ где $D$ единичный круг, а $G$ -- группа дробно-линейных отображений единичного круга на себя, действующих разрывно, является римановой поверхностью (т.е., хаусдорфовым топологическим пространством, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную единичному кругу. При этом, отображения, осуществляющие указанную гомеоморфность, связаны между собой некоторым конформным отображением). Пусть теперь $D/G$ -- фактор-пространство единичного шара $D={\Bbb B}^n,$ $n\geqslant 2,$ по некоторой группе мёбиусовых $G$ преобразований $g:\overline{{\Bbb R}^n}\rightarrow \overline{{\Bbb R}^n},$ не имеющих неподвижных точек в единичном шаре ${\Bbb B}^n,$ действующих разрывно в ${\Bbb B}^n$ и таких, что $g({\Bbb B}^n)={\Bbb B}^n.$ Хотелось бы получить ответ на следующий вопрос: является ли $D/G$ конформным (гладким) $n$-мерным многообразием ? (Можно было бы попробовать доказать это утверждение по аналогии с теоремой 6.2.1, однако, возможно, этот результат уже кем-то был получен). Буду благодарен за Ваше мнение !

[пианист]

А что есть "конформное $n$-мерное многообразие"?
Чет не получается данное словосочетание осмыслить.
И, в любом случае, стоит иметь в виду факт (теорема Лиувилля емнис), что для $n > 2$ группа конформных преобразований (здесь пропущены некоторые слова) скудная, не как при $n = 2$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ. Утверждение теоремы Лиувилля мне известно; сути поставленного мной вопроса это не меняет. Интуитивно я думаю, что утверждение является верным, но пока у меня нет никакой информации на этот счёт

-- 20.03.2019, 15:22 --

Конформное многообразие - это многообразие, в котором любые две карты из атласа связаны конформным преобразованием. Конформное двумерное многообразие называют римановой поверхностью

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1383134 писал(а):

Конформное многообразие - это многообразие, в котором любые две карты из атласа связаны конформным преобразованием. Конформное двумерное многообразие называют римановой поверхностью

Какое-то очень странное определение (я видел другое). Оно где-то встречается в литературе? Имеется в виду случай $n\ge 3$.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за ответ. Мне казалось, что приведённое определение многообразия является самым стандартным. Если не секрет, что Вы имеете в виду под другим определением ? В любом случае, поставленный вопрос интересен именно в такой формулировке.

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1383139 писал(а):

Мне казалось, что приведённое определение многообразия является самым стандартным.

Нет, не является (в случае конформного многообразия при $n\ge 3$). Если Вы считаете иначе, приведите, хотя бы одну ссылку на литературу. Я допускаю, что могу быть неправ, но со своей стороны ссылку привести могу.

Evgenii2012 в сообщении #1383139 писал(а):

Если не секрет, что Вы имеете в виду под другим определением ?

Пара из гладкого многообразия и класса эквивалентных римановых метрик на нём.

Evgenii2012 в сообщении #1383139 писал(а):

В любом случае, поставленный вопрос интересен именно в такой формулировке.

Если хотите именно в такой формулировке, приведите полное определение, там есть некоторые проблемы, которые Вы скорее всего сами обнаружите, когда начнёте его выписывать.

P. S. Я думаю, что я знаю ответ на Ваш вопрос, но мне нужно иметь перед глазами содержательные попытки решения.

[Brukvalub]

Нужный Вам объект не всегда является даже просто многообразием, он называется орбифолдом. Его изучали Сатаке, Тёрстон и много кто еще. В частности, он описан в лекциях Терстона (но НЕ в той их части, которая была издана на русском языке) и в монографии Б.Н. Апанасова Геометрия дискретных групп и многообразий.

[g______d]

Brukvalub в сообщении #1383142 писал(а):

Нужный Вам объект не всегда является даже просто многообразием, он называется орбифолдом. Его изучали Сатаке, Тёрстон и много кто еще. В частности, он описан в лекциях Терстона (но в той их части, которая была издана на русском языке) и в монографии Б.Н. Апанасова Геометрия дискретных групп и многообразий.

Спасибо, я был не прав, похожее определение действительно есть на странице 31 книги.

[Evgenii2012]

Уважаемые коллеги, большое спасибо за Ваше мнение. Я пока что не совсем могу понять, о чём речь (особенно, когда мне говорят о попытках решения, - не вполне понимаю, что имеется в виду. Какие именно попытки решения, и решения чего именно я должен совершать ?). Надо подумать над всем этим. Пока что могу сообщить, что в работе [O. Martio, U. Srebro, Automorphic quasimeromorphic mappings in ${\Bbb R}^n$ // Acta Math., Volume 135 (1975), 221-247], в конце пункта 3.3 коротко сказано о том, что подобные фактор пространства, соответствующие группам отображений, не имеющим неподвижных точек ("${\rm Fix\,}G=\varnothing$"), являются многообразиями. Обратите внимание, что я писал в своём вопросе именно об отображениях, не имеющих неподвижных точек, иначе это не многообразие, так и написано в этой статье. Далее, я использую следующее (стандартное) понятие гладкого многообразия: многообразие гладко, если карты связаны гладким преобразованием.

Повторяю свой вопрос: будет ли указанное многообразие гладким. Если "да", то будут ли являться соответствующие отображения перехода между картами мёбиусовыми ? Если что-то не так с моими вопросами, или с моей логикой, пожалуйста, сообщите.

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1383147 писал(а):

Какие именно попытки решения, и решения чего именно я должен совершать ?

Ну, безотносительно к вопросу конформности: существует понятие фактормногообразия по действию дискретной группы, и более-менее в любом учебнике по дифференциальной геометрии, в котором есть это понятие, сформулировано достаточное условие, при котором фактормножество по отношению к действию группы будет гладким многообразием. Возможно, стоило заглянуть в 2-3 учебника и посмотреть, не является ли Ваш вопрос частным случаем общей теоремы.

Можно было набрать в поиске гугла "quotient manifold".

Далее, раз уж Вам тут посоветовали монографию, то можно было бы в неё заглянуть и поискать там соответствующую теорему. Например, в районе Предложения 3.14.

[Evgenii2012]

g______d, большое спасибо за Ваше мнение. Попробую разобраться

[Evgenii2012]

Дорогие коллеги, уважаемый g______d, я ещё раз благодарю Вас за полезное обсуждение. Честно говоря, я и не подозревал, что эта теория так хорошо развита, а также о том, что дифференциальная геометрия имеет какое-либо отношение к этим вопросам. Изучив предложение 3.14 и комментарии к нему, я пришёл у выводу, что да -- это гладкое и, более того, конформное многообразие (если группа $G$, соответствующая фактор-пространству $D/G,$ не имеет неподвижных точек). Вроде бы именно так написано в книге Апанасова Геометрия дискретных групп и многообразий, которую рекомендовал мне Brukvalub. Как Вы полагаете, правильный ли вывод мною сделан, либо тут снова есть какой-то подвох ? Буду благодарен за Ваше мнение !

[g______d]

Evgenii2012 в сообщении #1383419 писал(а):

Как Вы полагаете, правильный ли вывод мною сделан, либо тут снова есть какой-то подвох ?

Вроде бы правильный -- настолько, насколько я могу судить. Если действие группы разрывно и неподвижных точек нет, то гладкость -- общий факт. Если неподвижные точки есть, то при факторизации у $D/G$ возникают "углы" и получается орбифолд, а не гладкое многообразие. Про конформность -- тоже вроде бы правильно (но имейте в виду, что указанное определение я сам узнал только из этой темы, за что благодарен всем участникам).

[Evgenii2012]

g______d, большое спасибо Вам, а также другим участникам за высказанное мнение, интересное обсуждение и помощь в решении данной проблемы