Аппроксимация функционала от частн. производных

[follow_the_sun]

optimist
Там же первое слагаемое существенно больше остальных, нет? Я в числах забивал

-- 17.03.2019, 01:13 --

optimist

optimist в сообщении #1382355 писал(а):

Выражение под функционалом записано неверно.

phi = 1/(2 e) (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[
         x])^2 + (8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2) - 
  2 nu (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*(8 y^2 f[x] + 
       4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2

Получается такой диффур в итоге:

(4 b^5 f[x])/(5 e) + 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

[follow_the_sun]

optimist
Граничные условия на $f_1$:
Из
$1)\dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial y^2}=p(y)$
$2)\dfrac{\partial^2 f(L,y)}{\partial y\partial x}=0$
следует, что $f'_1(L)=f_1''(L)=0$
Переписал заново все преобразования. Подскажите, где ошибка?

In[1]:= ClearAll["Global`*"] - очистить все
f1[x, y] = k*y^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2 f[x]
D[f1[x, y], x, x]


Out[1]= -все очистить + Null

Out[2]= (k y^4)/(12 b^2) + (-(b^2/4) + y^2)^2 f[x]

(-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]


In[4]:= D[f1[x, y], x, y]

In[5]:= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]
D[f1[x, y], y, y]

Out[5]= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]

(k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]
functional = 
 1/(2 e) (((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
        4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 + ((-(b^2/4) + y^2)^2 (
         f^\[Prime]\[Prime])[x])^2) - 
  2 nu ((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
     8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2
phi = Integrate[functional, {y, -b/2, b/2}]


Out[7]= (k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]

Out[8]= (8 y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 Derivative[1][f][x]^2)/g - 
 2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
    4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) (f^\[Prime]\[Prime])[
   x] + (((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
    4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 + (-(b^2/4) + y^2)^4 (
    f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(2 e)

(b k^2)/(160 e) + (b^3 k f[x])/(15 e) + (2 b^5 f[x]^2)/(5 e) + (
 b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(105 g) - 
 1/420 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
 4/105 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)


In[10]:= D[phi, f[x]]

In[11]:= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]
D[phi, f'[x], x]

Out[11]= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]

((2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g))


In[13]:= D[phi, f''[x], x, x]

4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)
Полученный диффур :
  

In[22]:= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)
DSolve[{(b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
    4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
    2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
    4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e) == 0, f''[L] == 0, f'[L] == 0},
  f[x], x]

Out[22]= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 8/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

[optimist]

follow_the_sun

follow_the_sun в сообщении #1382448 писал(а):

Подскажите, где ошибка?

Здесь:

functional = 
1/(2 e) (((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
        4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 + ((-(b^2/4) + y^2)^2 (
         f^\[Prime]\[Prime])[x])^2) - 
  2 nu ((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
     8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2

дальше не смотрел.

Граничных условий на $f_1(x)$ должно быть 4.

$x$ вроде бы изменялся от $-L/2$ до $L/2$.

[follow_the_sun]

optimist
Я там скобку не поставил? В противном случае я не могу найти ошибку:
последовательно расписываю производные и подставляю:

f1[x, y] = k*y^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2 f[x]
D[f1[x, y], x, x]
Out[2]= (k y^4)/(12 b^2) + (-(b^2/4) + y^2)^2 f[x]

(-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]


In[4]:= D[f1[x, y], x, y]

In[5]:= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]
D[f1[x, y], y, y]

Out[5]= 4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x]

(k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]
functional = 
 1/(2 e) ((((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
          4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 + ((-(b^2/4) + y^2)^2 (
           f^\[Prime]\[Prime])[x])^2) - 
     2 nu ((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
        8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2

optimist в сообщении #1382458 писал(а):

Граничных условий на $f_1(x)$ должно быть 4.

Но при решении ДУ мы используем 2?

optimist в сообщении #1382458 писал(а):

$x$ вроде бы изменялся от $-L/2$ до $L/2$.

да, это мне было лень ставить дроби

[optimist]

follow_the_sun

follow_the_sun в сообщении #1382463 писал(а):

Но при решении ДУ мы используем 2?

При решении ОДУ 4го порядка мы используем 4 граничных условия, и те которые записаны у вас - неверны даже с учетом того, что они записаны для одной границы.

[follow_the_sun]

optimist
Если $f(x,y)=\dfrac{ky^4}{12b^2}+(y^2-b^2/4)^2f_1(x)$
То
1)$f''_{xy}(\pm \dfrac{L}{2},y)=((y^2-b^2/4)^2)'f'_1(\dfrac{L}{2})=0\Rightarrow f_1'(\dfrac{L}{2})=0 $
2)$f''_{yy}(\pm \dfrac{L}{2},y)=\dfrac{ky^2}{b^2}+((y^2-b^2/4)^2)''f_1(\dfrac{L}{2})=\dfrac{ky^2}{b^2} \Rightarrow f_1(\dfrac{L}{2})=0$
3)$f''_{xy}(x,\pm \dfrac{b}{2})=0\cdot f_1'(x)\equiv 0$
4)$f''_{xx}(x,\pm \dfrac{b}{2})=0\cdot f_1''(x)\equiv 0$

[optimist]

follow_the_sun

Теперь правильно (если не учитывать, что вы забыли $\pm$).

[follow_the_sun]

optimist
Как использовать два последних условия при решении диффура на $f_1(x)$? Там ведь тождественное равенство нулю при любых $x$

[optimist]

follow_the_sun
Никак не использовать. Первые два граничных условия выполняются на двух границах - в итоге 4 граничных условия.

[follow_the_sun]

optimist
Понял. Вы можете посмотреть код, где ошибка?

[optimist]

follow_the_sun

В коде в сообщении вроде бы все правильно.

[follow_the_sun]

optimist

In[36]:= (k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]
functional = 
 1/(2 e) ((((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
          4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 + ((-(b^2/4) + y^2)^2 (
           f^\[Prime]\[Prime])[x])^2) - 
     2 nu ((-(b^2/4) + y^2)^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
        8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])) + 
  1/(2 g) (4 y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f][x])^2
phi = Integrate[functional, {y, -b/2, b/2}]


Out[36]= (k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]

Out[37]= (
 8 y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 Derivative[1][f][
   x]^2)/g + (((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
    4 (-(b^2/4) + y^2) f[x])^2 - 
  2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f[x] + 
     4 (-(b^2/4) + y^2) f[x]) (f^\[Prime]\[Prime])[
    x] + (-(b^2/4) + y^2)^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(2 e)

Out[38]= (b k^2)/(160 e) + (b^3 k f[x])/(15 e) + (2 b^5 f[x]^2)/(
 5 e) + (b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(105 g) - (
 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(840 e) + (
 2 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 e) + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)

(b k^2)/(160 e) + (b^3 k f[x])/(15 e) + (2 b^5 f[x]^2)/(5 e) + (
 b^7 Derivative[1][f][x]^2)/(105 g) - 
 1/420 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
 4/105 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
 b^9 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/(1260 e)


In[10]:= D[phi, f[x]]

In[11]:= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]
D[phi, f'[x], x]

Out[11]= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]

((2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g))


In[13]:= D[phi, f''[x], x, x]

4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)
Полученный диффур :
  

(b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

DSolve[{(b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
    4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
    2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
    4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e) == 0, f[L/2] == 0, 
  f'[L/2] == 0, f[-L/2] == 0, f'[-L/2] == 0}, f[x], x]

Out[47]= (b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 8/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

У меня опять получаются жуткие экспоненты и $-\dfrac{k}{12b^2}$

[optimist]

follow_the_sun
Подставляйте числа до решения ОДУ. Когда найдете $f_1(x)$, стройте поля напряжений.

[follow_the_sun]

optimist
Где здесь ошибка?

In[98]:= b := 1
e := 2*10^11
nu := 0.34
k := 8*10^8

(b^3 k)/(15 e) + (4 b^5 f[x])/(5 e) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
 2 b^7 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (b^9 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/(630 e)

Out[102]= 1/3750 + f[x]/250000000000 + 
 0.0259048 (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(
 105 g) + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000

In[105]:= DSolve[{1/3750 + f[x]/250000000000 + 
    0.02590476190476191` (f^\[Prime]\[Prime])[x] - (
    2 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/(105 g) + 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]/126000000000000 == 0, f'[-5/2] == 0, 
  f'[5/2] == 0, f[-5/2] == 0, f[5/2] == 0}, f[x], x]

[optimist]

follow_the_sun
А что говорит о том, что она там есть?