2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной
Сообщение18.03.2019, 00:22 
Аватара пользователя


12/06/11
102
СПб
Здравствуйте.
Пытаюсь численно взять довольно хлопотный тройной интеграл от, в общем случае, комплекснозначной функции многих, как вещественных, так и комплексных переменных по вещественным переменным:
$$\int_0^{\Omega}d({x_1}^2){x_1}^2 \int_{-1}^{1}dx_2 \sqrt{1-{x_2}^2} \int_{-1}^{1}dx_3 \sum^4_{j=1} \textcolor{red}{\mathcal{K}}_{ij}(\textcolor{red}{{z_1}^2, {z_2}, {z_3}^2}; {x_1}^2, x_2, x_3) \eqno(1)$$
В (1) все, что обозначено красным - является комплексными величинами. $\mathcal{K}_{ij}$ - это матрица $4 \times 4$, содержащая некие, тоже комплексные выражения. И мне надо это посчитать это выражение как интеграл по черным переменным.
Вопрос: я считаю комплексное выражение, раскидываю значения по сетке, у меня, таким образом, на сетке хранятся комплексные числа, и потом я... что?
Мне говорят, посчитай, это просто параметризация комплексной функции вещественным параметром, ок, я понимаю. Но, технически, я беру и вычисляю сначала комплексные значения подынтегральной функции, формирую из этих значений массив структур комплексных чисел, а потом что-то делаю с ними, но от имени вещественного параметра, и я это понимаю так: мне надо выделить у подынтегрального выражения вещественную и мнимую части, а затем их обе проинтегрировать по вещественным переменным, и результат как раз и запишется в виде их суммы, в виде набора точек вида $x + iy$, что я и сохраню в соответствующем массиве структур комплексных чисел.
Я прав? Без выделения $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ - частей не обойтись? Или можно как-то иначе? И если да, то как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной
Сообщение18.03.2019, 07:22 


02/12/18
88
Imaginarium
Ошибок в рассуждениях не заметил. Без выделения действительной и мнимой части не обойтись, если подпрограммы вычисления интегралов работают только с действительными функциями (такое часто бывает). У Вас сетка равномерная? Интегрирование адаптивное? Ответ зависит от метода интегрирования. В принципе можно обойтись без выделения. А вообще, рекомендую квадратурные формулы Кленшо-Куртиса.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной
Сообщение19.03.2019, 07:30 
Аватара пользователя


12/06/11
102
СПб
Здравствуйте, спасибо за ответ!
Думал использовать библиотеки cubature или Arb, в основном проект пишу на GSL, интегрирование по умолчанию - Гаусса-Кронрода, в тяжких случаях - Симпсона. Сетка предполагается адаптивная, с автосгущением по критерию ошибки, ничего особенного.
Цитата:
Ответ зависит от метода интегрирования. В принципе можно обойтись без выделения
- Вы не могли бы пояснить, каким образом? Я только начал заниматься численными методами в ТФКП, и здорово теряюсь в методах.
И еще: как можно выделить мнимую и вещественную части? Я знаю 2 способа: подставить в качесте комплексной переменной $x+iy$, раскрыть скобки, привести подобные; пожонглировать в конструктивном смысле равенствами Коши-Римана, и вычисляя производные, породить 2 массива в конце концов, по значениям функции - для мнимой и вещественной частей. Потом, собственно, интегрировать, одну часть умножить на $i$, записать комплексный ответ... Есть ли еще какие-нибудь ходы, которые можно применить?
Мне еще научный руководитель дал как пищу для размышлений такую вещь как "стандартный спектральный интеграл", и сказал, что мне нужно именно это. Вы не могли бы пояснить, если Вам известно, как это можно приспособить? Мне показалось, что обходы по контурам здесь не нужны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной
Сообщение19.03.2019, 19:16 


02/12/18
88
Цитата:
Вы не могли бы пояснить, каким образом?

Если интегрирование заключается в вычислении функции в некоторых точках, домножении на некоторые весовые коэффициенты и суммировании, то выделять ничего не надо.
Цитата:
Есть ли еще какие-нибудь ходы, которые можно применить

Вычислить комплекснозначную функцию и отбросить ненужную мнимую или действительную часть. Или это и есть второй способ?
Цитата:
Думал использовать библиотеки cubature или Arb, в основном проект пишу на GSL

Этим библиотекам нужен указатель на функцию. Причем тут сетка тогда?
Цитата:
стандартный спектральный интеграл

Понятия не имею о чем речь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной
Сообщение19.03.2019, 20:16 


20/03/14
12041
LMA
Частичное цитирование выделенного фрагмента производится с помощью кнопки "Вставка" из цитируемого поста.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group