Интеграл от комплексной функции по вещественной переменной

[Imaginarium]

Здравствуйте.
Пытаюсь численно взять довольно хлопотный тройной интеграл от, в общем случае, комплекснозначной функции многих, как вещественных, так и комплексных переменных по вещественным переменным:

$$\int_0^{\Omega}d({x_1}^2){x_1}^2 \int_{-1}^{1}dx_2 \sqrt{1-{x_2}^2} \int_{-1}^{1}dx_3 \sum^4_{j=1} \textcolor{red}{\mathcal{K}}_{ij}(\textcolor{red}{{z_1}^2, {z_2}, {z_3}^2}; {x_1}^2, x_2, x_3) \eqno(1)$$

В (1) все, что обозначено красным - является комплексными величинами. $\mathcal{K}_{ij}$ - это матрица $4 \times 4$, содержащая некие, тоже комплексные выражения. И мне надо это посчитать это выражение как интеграл по черным переменным.
Вопрос: я считаю комплексное выражение, раскидываю значения по сетке, у меня, таким образом, на сетке хранятся комплексные числа, и потом я... что?
Мне говорят, посчитай, это просто параметризация комплексной функции вещественным параметром, ок, я понимаю. Но, технически, я беру и вычисляю сначала комплексные значения подынтегральной функции, формирую из этих значений массив структур комплексных чисел, а потом что-то делаю с ними, но от имени вещественного параметра, и я это понимаю так: мне надо выделить у подынтегрального выражения вещественную и мнимую части, а затем их обе проинтегрировать по вещественным переменным, и результат как раз и запишется в виде их суммы, в виде набора точек вида $x + iy$, что я и сохраню в соответствующем массиве структур комплексных чисел.
Я прав? Без выделения $\operatorname{Re}$ и $\operatorname{Im}$ - частей не обойтись? Или можно как-то иначе? И если да, то как?

[LMA]

Imaginarium
Ошибок в рассуждениях не заметил. Без выделения действительной и мнимой части не обойтись, если подпрограммы вычисления интегралов работают только с действительными функциями (такое часто бывает). У Вас сетка равномерная? Интегрирование адаптивное? Ответ зависит от метода интегрирования. В принципе можно обойтись без выделения. А вообще, рекомендую квадратурные формулы Кленшо-Куртиса.

[Imaginarium]

Здравствуйте, спасибо за ответ!
Думал использовать библиотеки cubature или Arb, в основном проект пишу на GSL, интегрирование по умолчанию - Гаусса-Кронрода, в тяжких случаях - Симпсона. Сетка предполагается адаптивная, с автосгущением по критерию ошибки, ничего особенного.

Цитата:

Ответ зависит от метода интегрирования. В принципе можно обойтись без выделения

- Вы не могли бы пояснить, каким образом? Я только начал заниматься численными методами в ТФКП, и здорово теряюсь в методах.
И еще: как можно выделить мнимую и вещественную части? Я знаю 2 способа: подставить в качесте комплексной переменной $x+iy$, раскрыть скобки, привести подобные; пожонглировать в конструктивном смысле равенствами Коши-Римана, и вычисляя производные, породить 2 массива в конце концов, по значениям функции - для мнимой и вещественной частей. Потом, собственно, интегрировать, одну часть умножить на $i$, записать комплексный ответ... Есть ли еще какие-нибудь ходы, которые можно применить?
Мне еще научный руководитель дал как пищу для размышлений такую вещь как "стандартный спектральный интеграл", и сказал, что мне нужно именно это. Вы не могли бы пояснить, если Вам известно, как это можно приспособить? Мне показалось, что обходы по контурам здесь не нужны.

[LMA]

Цитата:

Вы не могли бы пояснить, каким образом?

Если интегрирование заключается в вычислении функции в некоторых точках, домножении на некоторые весовые коэффициенты и суммировании, то выделять ничего не надо.

Цитата:

Есть ли еще какие-нибудь ходы, которые можно применить

Вычислить комплекснозначную функцию и отбросить ненужную мнимую или действительную часть. Или это и есть второй способ?

Цитата:

Думал использовать библиотеки cubature или Arb, в основном проект пишу на GSL

Этим библиотекам нужен указатель на функцию. Причем тут сетка тогда?

Цитата:

стандартный спектральный интеграл

Понятия не имею о чем речь.

[Lia]

LMA
Частичное цитирование выделенного фрагмента производится с помощью кнопки "Вставка" из цитируемого поста.