Рекуррентное соотношение.

[Slow]

Пусть $a_1 = 2015$, $a_2 = 2016$ и $a_{n+2} = \frac{a_{n+1}+1}{a_n}$. Найдите $a_{2017}$.
Первая мысль:
$a_{n+2} = \frac{a_{n+1}+1}{a_n} = \frac{a_n + 1}{a_{n-1}a_n}+\frac{1}{a_n}=...=\frac{a_2+1}{\prod_{i=1}^{n}a_i}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{\prod_{j=i}^{n}a_j}$, далее попытался воспользоваться тем, что $a_{n+2}a_n=a_{n+1}+1$ и упростить произведения, но ничего существенно не упростилось
Вторая мысль:
$a_3=\frac{a_2+1}{a_1}, a_4=\frac{a_2+1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2}, a_5=\frac{a_2+1}{a_1a_2a_3}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3}=\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3}, значит a_{n+3}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}$
Больше ничего в голову не идет.

[LMA]

Slow
Найдите первые 7 элементов последовательности.

[Slow]

LMA
Спасибо, если сразу начать подставлять значения в формулу

Slow в сообщении #1382420 писал(а):

$a_{n+3}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}$

то получим $a_6=2015, a_7=2016$, т.е. последовательность периодична и $a_{n+5}=a_n$, значит $a_{2017}=a_{2+2015}=a_2=2016$