2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Рекуррентное соотношение.
Сообщение17.03.2019, 09:30 


28/05/12
214
Пусть $a_1 = 2015$, $a_2 = 2016$ и $a_{n+2} = \frac{a_{n+1}+1}{a_n}$. Найдите $a_{2017}$.
Первая мысль:
$a_{n+2} = \frac{a_{n+1}+1}{a_n} = \frac{a_n + 1}{a_{n-1}a_n}+\frac{1}{a_n}=...=\frac{a_2+1}{\prod_{i=1}^{n}a_i}+\sum_{i=2}^{n}\frac{1}{\prod_{j=i}^{n}a_j}$, далее попытался воспользоваться тем, что $a_{n+2}a_n=a_{n+1}+1$ и упростить произведения, но ничего существенно не упростилось
Вторая мысль:
$a_3=\frac{a_2+1}{a_1}, a_4=\frac{a_2+1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2}=\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_1a_2}+\frac{1}{a_2}, a_5=\frac{a_2+1}{a_1a_2a_3}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3}=\frac{1}{a_2}+\frac{1}{a_2a_3}+\frac{1}{a_3}, значит a_{n+3}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}$
Больше ничего в голову не идет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение.
Сообщение17.03.2019, 09:51 


02/12/18
88
Slow
Найдите первые 7 элементов последовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рекуррентное соотношение.
Сообщение17.03.2019, 10:22 


28/05/12
214
LMA
Спасибо, если сразу начать подставлять значения в формулу
Slow в сообщении #1382420 писал(а):
$a_{n+3}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{a_{n+1}a_n}+\frac{1}{a_{n+1}}$

то получим $a_6=2015, a_7=2016$, т.е. последовательность периодична и $a_{n+5}=a_n$, значит $a_{2017}=a_{2+2015}=a_2=2016$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: dgwuqtj


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group