2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Quadrilateral
Сообщение10.08.2008, 16:06 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Let extension of opposite sides of any convex quadrilateral intersect at K and L points. Let the diagonals of quadrilateral intersect at O point. Let "d" line that passes through O point and parallel to KL. Prove that the midpoint of segment inside the quadrilateral of that d line is "O" point.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2008, 17:40 


13/06/08
43
The drawing such? I have not absolutely understood what segment is available in view of
Piece of a line in a quadrangle?

Чертёж такой?
Я не совсем понял какой сегмент имеется ввиду
кусок линии в четырёхугольнике?

Изображение

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.08.2008, 22:42 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
Yes, exactly the same. O is the middle of the segment inside quadrilateral.

 Профиль  
                  
 
 Re: Quadrilateral
Сообщение11.08.2008, 09:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
ins- писал(а):
Let extension of opposite sides of any convex quadrilateral intersect at K and L points. Let the diagonals of quadrilateral intersect at O point. Let "d" line that passes through O point and parallel to KL. Prove that the midpoint of segment inside the quadrilateral of that d line is "O" point.
На $KL$ как на диаметре постройте сферу и возьмите на ней произвольную точку $S$ (но не в плоскости 4-угольника). Проведя прямые через $S$ и вершины 4-угольника и построив произвольную плоскость параллельную $KLS$, получите пирамиду с вершиной в $S$ и прямоугольным основанием. Далее увидите, что т. $O$ является центром параллельного основанию прямоугольного сечения пирамиды и что т. $O$ является центром "хорды" этого прямоугольного сечения.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2008, 12:31 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
TOTAL - I have a question to you. Are you invented the geometry? I saw on this site so beautiful solutions from you. Thank you!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение11.08.2008, 23:43 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
When I read the hints ... I cannot understand few things:

1) Why the intersection is a rectangle?

2) Далее увидите, что т. $O$ является центром параллельного основанию прямоугольного сечения пирамиды и что т. $O$ является центром "хорды" этого прямоугольного сечения.

May someone translate the second sentence in English?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.08.2008, 07:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
ins- писал(а):
When I read the hints ... I cannot understand few things:
1) Why the intersection is a rectangle?

Чтобы понять, что получается в результате построения, поступите наоборот. Возьмите произвольную пирамиду с вершиной $S$ и прямоугольным основанием. Одна пара противоположнах боковых граней пирамиды пересекается по прямой $L_1$, которая параллельна паре противоположных сторон прямоугольного основания. Вторая пара противоположнах боковых граней пирамиды пересекается по прямой $L_2$, которая параллельна другой паре противоположных сторон прямоугольного основания. Очевидно, что прямые $L_1$ и $L_2$ пересекаются под прямым углом. Плоскость $P$, в которой лежат прямые $L_1$ и $L_2$, параллельна основанию пирамиды.

Теперь нарисуйте плоскость $Q$, которая пересекаю пирамиду наискосок (т.е. эта плоскость не параллельна основанию пирамиды). В сечении пирамиды этой плоскостью получается четырехугольник, фигурирующий в задаче, а прямые $L_1$ и $L_2$ пересекаются плоскостью $Q$ в точках $K$ и $L$ из задачи.

Что касается Вашего второго вопроса, то заметьте, что в сечении пирамиды плоскостью, которая параллельна основанию, получается фигура подобная основанию, т.е. прямоугольник. Интересующий нас отрезок (с центром в т. $O$) как раз лежит в плоскости, которая параллельна основанию (ведь этот отрезок по условию параллелен $KL$!).


Замечание. Для доказательства вовсе не обязательно брать т. $S$ на указанной сфере. При других положения точки $S$ просто получится пирамида, в основании которой лежит не прямоугольник, а параллелограмм, для которого тоже любой отрезок, проходящий через центр, делится этим центром пополам. Более того, т. $S$ можно взять в плоскости заданного четырёхугольника и провести аналогичные линии. Картинка с пирамидой и прямоугольным основанием показалась мне более наглядной.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение12.08.2008, 21:27 
Аватара пользователя


13/10/07
713
Роман/София, България
:( I would like to thank to TOTAL for the good explanation but I think there are two possibilities:
1) I cannot understand what is written.
2) The written is wrong or trere are some implicit details not mentioned.

The thing confusing for me is that I think K and L are impossible to be as they given. I think so because the lines formed by opposite sides of the ABCD as described never intersects each other.

May someone post a picture that shows construction, described. I cannot imagine it.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение13.08.2008, 07:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/08/07
4780
Нов-ск
ins- писал(а):
May someone post a picture that shows construction, described. I cannot imagine it.
Смотрите картинку на месте моего аватара.
Объяснений добавлять больше не буду, их было достаточно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group