Quadrilateral

[ins-]

Let extension of opposite sides of any convex quadrilateral intersect at K and L points. Let the diagonals of quadrilateral intersect at O point. Let "d" line that passes through O point and parallel to KL. Prove that the midpoint of segment inside the quadrilateral of that d line is "O" point.

[Евгений Б.]

The drawing such? I have not absolutely understood what segment is available in view of
Piece of a line in a quadrangle?
Чертёж такой?
Я не совсем понял какой сегмент имеется ввиду
кусок линии в четырёхугольнике?

[ins-]

Yes, exactly the same. O is the middle of the segment inside quadrilateral.

[TOTAL]

ins- писал(а):

Let extension of opposite sides of any convex quadrilateral intersect at K and L points. Let the diagonals of quadrilateral intersect at O point. Let "d" line that passes through O point and parallel to KL. Prove that the midpoint of segment inside the quadrilateral of that d line is "O" point.

На $KL$ как на диаметре постройте сферу и возьмите на ней произвольную точку $S$ (но не в плоскости 4-угольника). Проведя прямые через $S$ и вершины 4-угольника и построив произвольную плоскость параллельную $KLS$, получите пирамиду с вершиной в $S$ и прямоугольным основанием. Далее увидите, что т. $O$ является центром параллельного основанию прямоугольного сечения пирамиды и что т. $O$ является центром "хорды" этого прямоугольного сечения.

[ins-]

TOTAL - I have a question to you. Are you invented the geometry? I saw on this site so beautiful solutions from you. Thank you!

[ins-]

When I read the hints ... I cannot understand few things:

1) Why the intersection is a rectangle?

2) Далее увидите, что т. $O$ является центром параллельного основанию прямоугольного сечения пирамиды и что т. $O$ является центром "хорды" этого прямоугольного сечения.

May someone translate the second sentence in English?

[TOTAL]

ins- писал(а):

When I read the hints ... I cannot understand few things:
1) Why the intersection is a rectangle?

Чтобы понять, что получается в результате построения, поступите наоборот. Возьмите произвольную пирамиду с вершиной $S$ и прямоугольным основанием. Одна пара противоположнах боковых граней пирамиды пересекается по прямой $L_1$, которая параллельна паре противоположных сторон прямоугольного основания. Вторая пара противоположнах боковых граней пирамиды пересекается по прямой $L_2$, которая параллельна другой паре противоположных сторон прямоугольного основания. Очевидно, что прямые $L_1$ и $L_2$ пересекаются под прямым углом. Плоскость $P$, в которой лежат прямые $L_1$ и $L_2$, параллельна основанию пирамиды.

Теперь нарисуйте плоскость $Q$, которая пересекаю пирамиду наискосок (т.е. эта плоскость не параллельна основанию пирамиды). В сечении пирамиды этой плоскостью получается четырехугольник, фигурирующий в задаче, а прямые $L_1$ и $L_2$ пересекаются плоскостью $Q$ в точках $K$ и $L$ из задачи.

Что касается Вашего второго вопроса, то заметьте, что в сечении пирамиды плоскостью, которая параллельна основанию, получается фигура подобная основанию, т.е. прямоугольник. Интересующий нас отрезок (с центром в т. $O$) как раз лежит в плоскости, которая параллельна основанию (ведь этот отрезок по условию параллелен $KL$!).


Замечание. Для доказательства вовсе не обязательно брать т. $S$ на указанной сфере. При других положения точки $S$ просто получится пирамида, в основании которой лежит не прямоугольник, а параллелограмм, для которого тоже любой отрезок, проходящий через центр, делится этим центром пополам. Более того, т. $S$ можно взять в плоскости заданного четырёхугольника и провести аналогичные линии. Картинка с пирамидой и прямоугольным основанием показалась мне более наглядной.

[ins-]

I would like to thank to TOTAL for the good explanation but I think there are two possibilities:
1) I cannot understand what is written.
2) The written is wrong or trere are some implicit details not mentioned.

The thing confusing for me is that I think K and L are impossible to be as they given. I think so because the lines formed by opposite sides of the ABCD as described never intersects each other.

May someone post a picture that shows construction, described. I cannot imagine it.

[TOTAL]

ins- писал(а):

May someone post a picture that shows construction, described. I cannot imagine it.

Смотрите картинку на месте моего аватара.
Объяснений добавлять больше не буду, их было достаточно.