Аппроксимация функционала от частн. производных

[follow_the_sun]

optimist
Сейчас перерешал, все равно $y$ остается

f[x, y] := k*y^4/(12 b^2) + (y^2 - b^2/4)^2*f1[x]
1. D[f[x, y], x, x]

In[94]:= (-(b^2/4) + y^2)^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x]
2. D[f[x, y], y, y]

Out[95]= 2. ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f1[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f1[x])

In[96]:= 3. D[f[x, y], x, y]

12.` y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f1][x]


In[99]:= phi[x, y] = 
 1/(2 e) (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x])^2 + (((k y^2)/
         b^2 + 8 y^2 f1[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f1[x]))^2) - 
  2 nu (((-(b^2/4) + y^2)^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x])*((k y^2)/b^2 + 
       8 y^2 f1[x] + 4 (-(b^2/4) + y^2) f1[x])) + 
  1/(2 g) (y (-(b^2/4) + y^2) Derivative[1][f1][x])^2
D[phi[x, y], f1[x]]

In[113]:= ((8 y^2 + 4 (-(b^2/4) + y^2)) ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f1[x] + 
    4 (-(b^2/4) + y^2) f1[x]))/e - 
 2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 (8 y^2 + 4 (-(b^2/4) + y^2)) (
   f1^\[Prime]\[Prime])[x]
D[phi[x, y], f1'[x], x]

Out[114]= (y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x])/g

In[115]:= D[phi[x, y], f1''[x], x, x]


-2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 (8 y^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x] + 
    4 (-(b^2/4) + y^2) (f1^\[Prime]\[Prime])[x]) + ((-(b^2/4) + y^2)^4 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f1\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/e

Полученный диффур :
  (((8 y^2 + 4 (-(b^2/4) + y^2)) ((k y^2)/b^2 + 8 y^2 f1[x] + 
        4 (-(b^2/4) + y^2) f1[x]))/e - 
     2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 (8 y^2 + 4 (-(b^2/4) + y^2)) (
       f1^\[Prime]\[Prime])[x]) - (
   y^2 (-(b^2/4) + y^2)^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x])/
   g + (-2 nu (-(b^2/4) + y^2)^2 (8 y^2 (f1^\[Prime]\[Prime])[x] + 
        4 (-(b^2/4) + y^2) (f1^\[Prime]\[Prime])[x]) + ((-(b^2/4) + 
        y^2)^4 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f1\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x])/e)

Уравнение Эйлера-Пуассона
$\dfrac{\partial \varphi}{\partial f_1}-\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\partial \varphi}{\partial f_1'})+\dfrac{d^2}{dx^2}(\dfrac{\partial \varphi}{\partial f_1''})=0$
У нас ведь $\varphi=\varphi[x,y, f_1(x),f_1'(x),f_1''(x)]$, а ур-е Эйлера-Пуассона проверяется (например, в Эльсгольце), когда $\varphi=\varphi[x, f_1(x),f_1'(x),f_1''(x)]$, или это не такое принципиальное условие?

[optimist]

follow_the_sun

follow_the_sun в сообщении #1381946 писал(а):

У нас ведь $\varphi=\varphi[x,y, f_1(x),f_1'(x),f_1''(x)]$, а ур-е Эйлера-Пуассона проверяется (например, в Эльсгольце), когда $\varphi=\varphi[x, f_1(x),f_1'(x),f_1''(x)]$, или это не такое принципиальное условие?

Принципиально не это, а то что интеграл в функционале должен быть только по $x$.

[follow_the_sun]

optimist
Но там ведь будут $y$, они все равно остаются после дифференцирования

[optimist]

follow_the_sun
Нет, там не будет $y$ если вы по $y$ проинтегрируете.

[follow_the_sun]

optimist
Надо проверять на Эйлера-Пуассона $\Phi=\int\limits_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}}\varphi[x,y,f'(x),f''(x)] dy$

[optimist]

follow_the_sun
$\begin{multlined}\Phi=\iint\limits_S F_0(x,y)+\sum\limits_i F_i(x)P_i(y) ds = \int\limits_{-L/2}^{L/2} \int\limits_{-b/2}^{b/2} F_0(x,y) + \sum\limits_i F_i(x)P_i(y) dydx = \\ = k_0 + \int\limits_{-L/2}^{L/2} \sum\limits_i \left(\int\limits_{-b/2}^{b/2} P_i(y) dy\right)F_i(x) dx = k_0 + \int\limits_{-L/2}^{L/2} \sum\limits_i k_i F_i(x) dx\end{multlined}$

[follow_the_sun]

optimist
Но ведь функционал имеет вид $U[f(x,y)]=\iint\limits_{S}[{\dfrac{1}{2E}[(\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2})^2+(\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2})^2-2\nu\dfrac{\partial^2f}{\partial y^2}\dfrac{\partial^2f}{\partial x^2}]+ {\dfrac{1}{2G}(\dfrac{\partial^2f}{\partial x\partial y})^2]dS $

а не

$\iint\limits_S f(x,y) ds$

[optimist]

follow_the_sun
Поэтому я и написал большие буквы, чтобы было понятно, что $F_0(x,y),\ F_i(x),\ P_i(y)$ - это не то же самое, что и $f_0(x,y),\ f_i(x),\ p_i(y)$.

[follow_the_sun]

optimist
Все понял, сейчас буду считать.

[follow_the_sun]

optimist
У меня получилось $f_1(x)\approx-\dfrac{k}{12b^2}$

[optimist]

follow_the_sun
Неправильно.

Выпишите, пожалуйста, ОДУ, которое вы получили и граничные условия на $f_1(x)$.

[follow_the_sun]

optimist
Вам как удобнее: картинкой или кодом в Вольфраме?

[optimist]

follow_the_sun
Мне без разницы, но правила форма, видимо, предполагают набор формул в $\TeX$.

[follow_the_sun]

optimist

Выражение под функционалом :
  1/2 e ((k^2 y^4)/b^4 - 2 k y^2 f[x] + (24 k y^4 f[x])/b^2 + 
      b^4 f[x]^2 - 24 b^2 y^2 f[x]^2 + 144 y^4 f[x]^2 + 
      1/256 b^8 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 
      1/16 b^6 y^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 + 
      3/8 b^4 y^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 
      b^2 y^6 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 + 
      y^8 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2) - 
   2 nu (1/16 b^2 k y^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
      1/2 k y^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
      k y^6 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/b^2 - 
      1/16 b^6 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
      5/4 b^4 y^2 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
      7 b^2 y^4 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
      12 y^6 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x]) + 
   1/2 g (b^4 y^2 Derivative[1][f][x]^2 - 
      8 b^2 y^4 Derivative[1][f][x]^2 + 16 y^6 Derivative[1][f][x]^2)

Интегрирование по у :
  

In[1]:= Integrate[
 1/2 e ((k^2 y^4)/b^4 - 2 k y^2 f[x] + (24 k y^4 f[x])/b^2 + 
     b^4 f[x]^2 - 24 b^2 y^2 f[x]^2 + 144 y^4 f[x]^2 + 
     1/256 b^8 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 
     1/16 b^6 y^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 + 
     3/8 b^4 y^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 - 
     b^2 y^6 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2 + 
     y^8 (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2) - 
  2 nu (1/16 b^2 k y^2 (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
     1/2 k y^4 (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
     k y^6 (f^\[Prime]\[Prime])[x])/b^2 - 
     1/16 b^6 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
     5/4 b^4 y^2 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
     7 b^2 y^4 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
     12 y^6 f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x]) + 
  1/2 g (b^4 y^2 Derivative[1][f][x]^2 - 
     8 b^2 y^4 Derivative[1][f][x]^2 + 
     16 y^6 Derivative[1][f][x]^2), {y, -b/2, b/2}]

1/160 b e k^2 + 1/15 b^3 e k f[x] + 2/5 b^5 e f[x]^2 + 
 1/105 b^7 g Derivative[1][f][x]^2 - 
 1/420 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
 4/105 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
 b^9 e (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/1260

phi[x, f[x], f'[x], f''[x]] := 
 1/160 b e k^2 + 1/15 b^3 e k f[x] + 2/5 b^5 e f[x]^2 + 
  1/105 b^7 g Derivative[1][f][x]^2 - 
  1/420 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
  4/105 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
  b^9 e (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/1260
D[phi[x, f[x], f'[x], f''[x]], f[x]]

Out[2]= 1/160 b e k^2 + 1/15 b^3 e k f[x] + 2/5 b^5 e f[x]^2 + 
 1/105 b^7 g Derivative[1][f][x]^2 - 
 1/420 b^5 k nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
 4/105 b^7 nu f[x] (f^\[Prime]\[Prime])[x] + (
 b^9 e (f^\[Prime]\[Prime])[x]^2)/1260

Out[4]= 1/15 b^3 e k + 4/5 b^5 e f[x] + 
 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]

In[8]:= D[phi[x, f[x], f'[x], f''[x]], f'[x], x]

2/105 b^7 g (f^\[Prime]\[Prime])[x]


In[9]:= D[phi[x, f[x], f'[x], f''[x]], f''[x], x, x]

Out[9]= 4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 1/630 b^9 e 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x]

Составляем диффур :
  

In[13]:= 1/15 b^3 e k + 4/5 b^5 e f[x] + 
  4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
  2/105 b^7 g (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
  4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 1/630 b^9 e 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x] = 0
DSolve[1/15 b^3 e k + 4/5 b^5 e f[x] + 
   4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] - 
   2/105 b^7 g (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 
   4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x] + 1/630 b^9 e 
\!\(\*SuperscriptBox[\(f\), 
TagBox[
RowBox[{"(", "4", ")"}],
Derivative],
MultilineFunction->None]\)[x] == 0, f[x], x]

During evaluation of In[13]:= Set::write: Tag Plus in 1/15 b^3 e k+4/5 b^5 e f[x]-2/105 b^7 g (f^\[Prime]\[Prime])[x]+4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]+4/105 b^7 nu (f^\[Prime]\[Prime])[x]+1/630 b^9 e (f^(4))[x] is Protected.

Out[13]= 0

Out[14]= {{f[x] -> -(k/(12 b^2)) + 
    E^(Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) - 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[1] + 
    E^(-Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) - 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[2] + 
    E^(Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) + 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[3] + 
    E^(-Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) + 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[4]}}

[optimist]

follow_the_sun
Выражение под функционалом записано неверно.

Граничные условия на $f_1(x)$ не приведены.

И где же вы в

Out[14]= {{f[x] -> -(k/(12 b^2)) + 
    E^(Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) - 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[1] + 
    E^(-Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) - 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[2] + 
    E^(Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) + 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[3] + 
    E^(-Sqrt[6] Sqrt[
      g/(b^2 e) - (4 nu)/(b^2 e) + 
       Sqrt[-14 e^2 + g^2 - 8 g nu + 16 nu^2]/(b^2 e)] x) C[4]}}

разглядели $f_1(x)\approx-\dfrac{k}{12b^2}$?

Вместо

phi[x, f[x], f'[x], f''[x]] := ...

используйте

phi=...

.
Я удивлен, что это вообще работало.

Кроме того, сохраняйте результаты вычислений в отдельные переменные и потом используйте их, вместо того чтобы копировать и вставлять результаты вычислений. Это сильно упрощает работу, например можно записать

int=Integrate[...,{y,-b/2,b/2}]

и потом использовать переменную

int

.