Обратимость марковской цепи

[Anatoly]

Добрый день уважаемые форумчане!
Решил немного поиграться с марковскими цепями и наткнулся на интересный эффект.
Предположим, что наблюдается случайная последовательность $s_1,s_2,\cdots,s_k,\cdots$ с двумя допустимыми состояниями: $H_0$ и $H_1$.
Задана матрица условных вероятностей переходов:

$$ A = \begin{bmatrix} P(s_k=H_0|s_{k-1}=H_0) & P(s_k=H_0|s_{k-1}=H_1) \\ P(s_k=H_1|s_{k-1}=H_0) & P(s_k=H_1|s_{k-1}=H_1) \end{bmatrix} $$

Для марковской цепи справедливо тождество

$$ \begin{bmatrix} P(s_k=H_0)\\ P(s_k=H_1) \end{bmatrix} = A \begin{bmatrix} P(s_{k-1}=H_0)\\ P(s_{k-1}=H_1) \end{bmatrix} $$

Теперь сделаем предположение, что свойства последовательности не зависят от направления просмотра. То есть, при "проигрывании" в обратном направлении последовательность также является марковской цепью, при этом справедливо следующее свойство "обратимости"

$$ P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}. $$

Соответственно, справедливо тождество

$$ \begin{bmatrix} P(s_{k-1}=H_0)\\ P(s_{k-1}=H_1) \end{bmatrix} = B \begin{bmatrix} P(s_{k}=H_0)\\ P(s_{k}=H_1) \end{bmatrix} $$

где $B$ - матрица вероятностей обратных переходов

$$ B = \begin{bmatrix} P(s_{k-1}=H_0|s_{k}=H_0) & P(s_{k-1}=H_0|s_{k}=H_1) \\ P(s_{k-1}=H_1|s_{k}=H_0) & P(s_{k-1}=H_1|s_{k}=H_1) \end{bmatrix} $$

Из условия "обратимости" непосредственно следует, что

$$ B = A^T. $$

А отсюда сразу следует, что

$$ AA^T=E, $$

где $E$ - единичная матрица.

То есть, матрица $A$, при условии "обратимости" марковской цепи, является унитарной. А единственный случай для унитарной матрицы размером 2X2, при котором её элементы неотрицательны, является случай единичной матрицы.
Вывод: Условие "обратимости" описанной марковской цепи приводит к тому, что она становится вырожденной, то есть с вероятностью 1 перманентно находится в одном из двух состояний.
Прошу ваших комментариев, так как результат весьма неожиданный.

[arseniiv]

Anatoly в сообщении #1381670 писал(а):

при этом справедливо следующее свойство "обратимости"

$$ P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}. $$

А оно точно естественное?

-- Чт мар 14, 2019 01:39:31 --

Плюс чисто алгебра. Пусть $J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, тогда $J^{-1} = J = J^t$.

[--mS--]

arseniiv в сообщении #1381711 писал(а):

Anatoly в сообщении #1381670 писал(а):

при этом справедливо следующее свойство "обратимости"

$$ P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}. $$

А оно точно естественное?

Более того, стоит расписать условные вероятности, как это равенство заменится на равносильное $\mathsf P(s_k=H_n)=\mathsf P(s_{k-1} = H_m)$, если $\mathsf P(s_k=H_n, \, s_{k-1} = H_m)\neq 0$. Например, матрица вероятностей перехода, состоящая из одних половинок, тоже вполне сюда вписывается.

[Anatoly]

Разобрался. Задачка оказалась стандартная. Обратимые марковские цепи хорошо расписаны в литературе, например
https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/M ... s/ch16.pdf