2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Обратимость марковской цепи
Сообщение13.03.2019, 19:10 


25/02/10
29
Добрый день уважаемые форумчане!
Решил немного поиграться с марковскими цепями и наткнулся на интересный эффект.
Предположим, что наблюдается случайная последовательность $s_1,s_2,\cdots,s_k,\cdots$ с двумя допустимыми состояниями: $H_0$ и $H_1$.
Задана матрица условных вероятностей переходов:
$$
A = 
\begin{bmatrix}
P(s_k=H_0|s_{k-1}=H_0) & P(s_k=H_0|s_{k-1}=H_1) \\
P(s_k=H_1|s_{k-1}=H_0) & P(s_k=H_1|s_{k-1}=H_1)
\end{bmatrix}
$$
Для марковской цепи справедливо тождество
$$
\begin{bmatrix}
P(s_k=H_0)\\
P(s_k=H_1)
\end{bmatrix}
=
A
\begin{bmatrix}
P(s_{k-1}=H_0)\\
P(s_{k-1}=H_1)
\end{bmatrix}

$$


Теперь сделаем предположение, что свойства последовательности не зависят от направления просмотра. То есть, при "проигрывании" в обратном направлении последовательность также является марковской цепью, при этом справедливо следующее свойство "обратимости"
$$
P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}.
$$

Соответственно, справедливо тождество
$$
\begin{bmatrix}
P(s_{k-1}=H_0)\\
P(s_{k-1}=H_1)
\end{bmatrix}
=
B
\begin{bmatrix}
P(s_{k}=H_0)\\
P(s_{k}=H_1)
\end{bmatrix}
$$
где $B$ - матрица вероятностей обратных переходов
$$
B = 
\begin{bmatrix}
P(s_{k-1}=H_0|s_{k}=H_0) & P(s_{k-1}=H_0|s_{k}=H_1) \\
P(s_{k-1}=H_1|s_{k}=H_0) & P(s_{k-1}=H_1|s_{k}=H_1)
\end{bmatrix}
$$

Из условия "обратимости" непосредственно следует, что
$$
B = A^T.
$$
А отсюда сразу следует, что
$$
AA^T=E,
$$
где $E$ - единичная матрица.

То есть, матрица $A$, при условии "обратимости" марковской цепи, является унитарной. А единственный случай для унитарной матрицы размером 2X2, при котором её элементы неотрицательны, является случай единичной матрицы.
Вывод: Условие "обратимости" описанной марковской цепи приводит к тому, что она становится вырожденной, то есть с вероятностью 1 перманентно находится в одном из двух состояний.
Прошу ваших комментариев, так как результат весьма неожиданный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратимость марковской цепи
Сообщение13.03.2019, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
24629
Уфа
Anatoly в сообщении #1381670 писал(а):
при этом справедливо следующее свойство "обратимости"
$$
P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}.
$$
А оно точно естественное?

-- Чт мар 14, 2019 01:39:31 --

Плюс чисто алгебра. Пусть $J = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$, тогда $J^{-1} = J = J^t$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратимость марковской цепи
Сообщение14.03.2019, 04:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4037
arseniiv в сообщении #1381711 писал(а):
Anatoly в сообщении #1381670 писал(а):
при этом справедливо следующее свойство "обратимости"
$$
P(s_{k-1}=H_m | s_k = H_n) = P(s_k = H_n | s_{k-1}=H_m), m,n\in\{0,1\}.
$$
А оно точно естественное?

Более того, стоит расписать условные вероятности, как это равенство заменится на равносильное $\mathsf P(s_k=H_n)=\mathsf  P(s_{k-1} = H_m)$, если $\mathsf  P(s_k=H_n, \, s_{k-1} = H_m)\neq 0$. Например, матрица вероятностей перехода, состоящая из одних половинок, тоже вполне сюда вписывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Обратимость марковской цепи
Сообщение14.03.2019, 22:27 


25/02/10
29
Разобрался. Задачка оказалась стандартная. Обратимые марковские цепи хорошо расписаны в литературе, например
https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/M ... s/ch16.pdf

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group